Номер 140, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 140, страница 49.

140 Докажите, что если $a$, $b$, $c$ и $d$ — положительные числа, такие, что $\frac{a}{b} \leqq \frac{c}{d}$, то $\frac{a}{b} \leqq \frac{a+c}{b+d} \leqq \frac{c}{d}$.

По условию задачи даны положительные числа $a, b, c, d$, для которых выполняется неравенство $\frac{a}{b} \le \frac{c}{d}$. Нам необходимо доказать двойное неравенство $\frac{a}{b} \le \frac{a+c}{b+d} \le \frac{c}{d}$.

Доказательство разобьем на две части. Сначала докажем левую часть неравенства, а затем правую.

Из исходного неравенства $\frac{a}{b} \le \frac{c}{d}$ и того факта, что $b$ и $d$ — положительные числа, мы можем умножить обе части на $bd > 0$, не меняя знака неравенства. Получим: $ad \le bc$.

Доказательство неравенства $\frac{a}{b} \le \frac{a+c}{b+d}$

Чтобы доказать это неравенство, рассмотрим разность его правой и левой частей. Мы должны показать, что эта разность неотрицательна. $\frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b} = \frac{b(a+c) - a(b+d)}{b(b+d)}$

Приведем выражение в числителе к более простому виду, раскрыв скобки: $\frac{ab + bc - ab - ad}{b(b+d)} = \frac{bc - ad}{b(b+d)}$

Из исходного условия мы знаем, что $ad \le bc$, следовательно, числитель $bc - ad \ge 0$. Знаменатель $b(b+d)$ является произведением положительных чисел ($b>0$ и $b+d>0$), поэтому он строго положителен. Дробь, у которой числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, является неотрицательной. Таким образом, $\frac{bc - ad}{b(b+d)} \ge 0$, а значит и $\frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b} \ge 0$. Это равносильно тому, что $\frac{a}{b} \le \frac{a+c}{b+d}$. Первая часть доказана.

Доказательство неравенства $\frac{a+c}{b+d} \le \frac{c}{d}$

Теперь докажем вторую часть двойного неравенства. Рассмотрим разность его правой и левой частей: $\frac{c}{d} - \frac{a+c}{b+d} = \frac{c(b+d) - d(a+c)}{d(b+d)}$

Раскроем скобки в числителе: $\frac{cb + cd - da - dc}{d(b+d)} = \frac{bc - ad}{d(b+d)}$

Как и в предыдущем случае, числитель $bc - ad \ge 0$. Знаменатель $d(b+d)$ также положителен, так как $d>0$ и $b>0$. Следовательно, вся дробь неотрицательна: $\frac{bc - ad}{d(b+d)} \ge 0$. Это означает, что $\frac{c}{d} - \frac{a+c}{b+d} \ge 0$, что равносильно $\frac{a+c}{b+d} \le \frac{c}{d}$. Вторая часть доказана.

Поскольку мы доказали обе части двойного неравенства, $\frac{a}{b} \le \frac{a+c}{b+d}$ и $\frac{a+c}{b+d} \le \frac{c}{d}$, то утверждение целиком является верным.

Ответ: Что и требовалось доказать.