Номер 147, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 147, страница 50.

147 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

а) В каком случае турист пройдёт одно и то же расстояние быстрее: если он будет идти по горизонтальной дороге с постоянной скоростью или же если половину пути он будет идти в гору со скоростью, на 1 км/ч меньшей, чем его скорость по горизонтальной дороге, а половину пути — с горы со скоростью, на 1 км/ч большей, чем по горизонтальной дороге?

б) Саша и Даша отправляются из одного дома к школе, расстояние до которой 2 км. Саша первую половину пути бежит со скоростью $a$ км/ч, а вторую половину пути идёт со скоростью $b$ км/ч. Даша первую половину времени бежит со скоростью $a$ км/ч, а вторую половину времени идёт со скоростью $b$ км/ч. Кто из них доберётся до школы раньше?

а)

Для решения задачи сравним время, затраченное туристом в двух случаях. Пусть $S$ – это общее расстояние, а $v$ (в км/ч) – скорость туриста на горизонтальной дороге. Для того чтобы задача имела физический смысл, скорость движения в гору должна быть положительной, то есть $v-1 > 0$, откуда $v > 1$ км/ч.

Случай 1: Движение по горизонтальной дороге.

Скорость туриста постоянна и равна $v$. Время, затраченное на весь путь, равно:
$t_1 = \frac{S}{v}$

Случай 2: Движение в гору и с горы.

Первую половину пути, равную $S/2$, турист идёт в гору со скоростью $v - 1$ км/ч. Время на этом участке:
$t_{в\;гору} = \frac{S/2}{v-1} = \frac{S}{2(v-1)}$

Вторую половину пути, также равную $S/2$, турист идёт с горы со скоростью $v + 1$ км/ч. Время на этом участке:
$t_{с\;горы} = \frac{S/2}{v+1} = \frac{S}{2(v+1)}$

Общее время во втором случае:
$t_2 = t_{в\;гору} + t_{с\;горы} = \frac{S}{2(v-1)} + \frac{S}{2(v+1)}$

Приведём выражение для $t_2$ к общему знаменателю:
$t_2 = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{v-1} + \frac{1}{v+1} \right) = \frac{S}{2} \left( \frac{(v+1) + (v-1)}{(v-1)(v+1)} \right) = \frac{S}{2} \left( \frac{2v}{v^2 - 1} \right) = \frac{Sv}{v^2 - 1}$

Теперь сравним $t_1 = \frac{S}{v}$ и $t_2 = \frac{Sv}{v^2 - 1}$. Для этого найдем их отношение:
$\frac{t_2}{t_1} = \frac{\frac{Sv}{v^2 - 1}}{\frac{S}{v}} = \frac{Sv}{v^2 - 1} \cdot \frac{v}{S} = \frac{v^2}{v^2 - 1}$

Поскольку $v > 1$, то $v^2$ — положительное число. Знаменатель $v^2 - 1$ меньше числителя $v^2$. Следовательно, дробь $\frac{v^2}{v^2 - 1}$ больше 1.
Из $\frac{t_2}{t_1} > 1$ следует, что $t_2 > t_1$.

Это означает, что во втором случае турист затратит больше времени. Чтобы пройти расстояние быстрее, ему следует идти по горизонтальной дороге.

Ответ: Турист пройдёт расстояние быстрее, если будет идти по горизонтальной дороге с постоянной скоростью.

б)

Пусть $S=2$ км — расстояние от дома до школы, $a$ км/ч — скорость бега, $b$ км/ч — скорость ходьбы. Логично предположить, что скорость бега больше скорости ходьбы, то есть $a > b$.

Рассчитаем время Саши:

Саша первую половину пути, то есть $S/2 = 1$ км, бежит со скоростью $a$, а вторую половину пути ($S/2 = 1$ км) идёт со скоростью $b$.
Время на первом участке: $t_{С1} = \frac{1}{a}$ ч.
Время на втором участке: $t_{С2} = \frac{1}{b}$ ч.
Общее время Саши: $t_{Саша} = t_{С1} + t_{С2} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab}$ ч.

Рассчитаем время Даши:

Даша первую половину времени бежит, а вторую половину времени идёт. Пусть общее время Даши равно $t_{Даша}$.
Тогда первую половину времени, $t_{Даша}/2$, она бежит со скоростью $a$ и проходит расстояние $S_{Д1} = a \cdot \frac{t_{Даша}}{2}$.
Вторую половину времени, $t_{Даша}/2$, она идёт со скоростью $b$ и проходит расстояние $S_{Д2} = b \cdot \frac{t_{Даша}}{2}$.
Общее расстояние $S = S_{Д1} + S_{Д2} = a \frac{t_{Даша}}{2} + b \frac{t_{Даша}}{2} = \frac{t_{Даша}(a+b)}{2}$.
Так как общее расстояние равно 2 км, получаем:
$2 = \frac{t_{Даша}(a+b)}{2}$
Отсюда выразим время Даши: $t_{Даша} = \frac{4}{a+b}$ ч.

Сравним время Саши и Даши:

Нам нужно сравнить $t_{Саша} = \frac{a+b}{ab}$ и $t_{Даша} = \frac{4}{a+b}$.
Сравним их, рассмотрев разность $(a+b)^2 - 4ab$.
$(a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Так как скорости бега и ходьбы различны ($a \neq b$), то $(a-b)^2 > 0$.
Следовательно, $(a+b)^2 > 4ab$.
Поскольку скорости $a$ и $b$ положительны, то и $ab > 0$ и $a+b > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $ab(a+b)$, не меняя знак неравенства:
$\frac{(a+b)^2}{ab(a+b)} > \frac{4ab}{ab(a+b)}$
$\frac{a+b}{ab} > \frac{4}{a+b}$
Таким образом, $t_{Саша} > t_{Даша}$.

Время Даши меньше времени Саши, значит, Даша доберётся до школы раньше.

Ответ: Даша доберётся до школы раньше.