Номер 144, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 144, страница 49.

144 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

1) Разберите, как доказано неравенство $ \frac{2}{a+b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $, где $ a > 0 $ и $ b > 0 $.

Доказательство. Представим дробь $ \frac{2}{a+b} $ в виде суммы дробей: $ \frac{2}{a+b} = \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+b} $. Но $ \frac{1}{a+b} < \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{a+b} < \frac{1}{b} $. Поэтому $ \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $. Таким образом, неравенство $ \frac{2}{a+b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $ доказано.

2) Пользуясь этим же приёмом, докажите неравенство $ \frac{3}{a+b+c} < \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} $, где $ a > 0, b > 0, c > 0 $.

1)

Разберем, как было доказано неравенство $\frac{2}{a+b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ для положительных чисел $a$ и $b$.

Доказательство состоит из нескольких логических шагов:

Шаг 1: Представление левой части в виде суммы.
Дробь в левой части неравенства, $\frac{2}{a+b}$, представляется в виде суммы двух одинаковых дробей:
$\frac{2}{a+b} = \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+b}$

Шаг 2: Сравнение слагаемых.
Каждое из этих слагаемых сравнивается с дробями из правой части исходного неравенства.
По условию $a > 0$ и $b > 0$.
Так как $b$ — положительное число, то сумма $a+b$ строго больше, чем $a$. Запишем это как $a+b > a$.
Поскольку обе части этого неравенства положительны, при взятии обратных величин (переворачивании дробей) знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{1}{a+b} < \frac{1}{a}$
Аналогично, так как $a$ — положительное число, то $a+b > b$. Взяв обратные величины, получаем:
$\frac{1}{a+b} < \frac{1}{b}$

Шаг 3: Сложение неравенств.
Теперь у нас есть два верных неравенства, которые мы можем сложить почленно (левую часть с левой, правую с правой):
$(\frac{1}{a+b}) + (\frac{1}{a+b}) < (\frac{1}{a}) + (\frac{1}{b})$

Шаг 4: Получение итогового результата.
Упрощая левую часть полученного неравенства, мы приходим к тому, что требовалось доказать:
$\frac{2}{a+b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Ответ: Доказательство основано на представлении дроби $\frac{2}{a+b}$ в виде суммы $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+b}$ и последующем почленном сложении двух верных неравенств $\frac{1}{a+b} < \frac{1}{a}$ и $\frac{1}{a+b} < \frac{1}{b}$, которые следуют из условий $a > 0$ и $b > 0$.

2)

Используя этот же приём, докажем неравенство $\frac{3}{a+b+c} < \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c}$, где $a > 0, b > 0, c > 0$.

Шаг 1: Представление левой части в виде суммы.
Представим дробь в левой части неравенства как сумму трех одинаковых дробей:
$\frac{3}{a+b+c} = \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c}$

Шаг 2: Сравнение слагаемых.
Теперь сравним каждое из этих слагаемых с соответствующими дробями из правой части неравенства. По условию $a, b, c$ — положительные числа.
Поскольку $c > 0$, то $a+b+c > a+b$. Следовательно, для обратных величин верно:
$\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{a+b}$
Поскольку $b > 0$, то $a+b+c > a+c$. Следовательно:
$\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{a+c}$
Поскольку $a > 0$, то $a+b+c > b+c$. Следовательно:
$\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{b+c}$

Шаг 3: Сложение неравенств.
Мы получили три верных неравенства. Сложим их почленно:
$\frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c}$

Шаг 4: Получение итогового результата.
Упростив левую часть, мы получаем искомое неравенство:
$\frac{3}{a+b+c} < \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано путем представления левой части в виде суммы трех слагаемых и почленного сложения трех более сильных неравенств, полученных сравнением знаменателей.