Номер 146, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 146, страница 50.

146 Докажите, что при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$ верно неравенство

$(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc.$

Подсказка. Примените неравенство $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}.$

Для доказательства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$, которое было дано в подсказке: $$ \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} $$ Это неравенство можно переписать в более удобном для нас виде, умножив обе части на 2: $$ x+y \ge 2\sqrt{xy} $$

По условию задачи переменные $a, b, c$ неотрицательны ($a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$), поэтому мы можем применить это неравенство для каждой из пар чисел $(a, b)$, $(b, c)$ и $(c, a)$. Запишем три соответствующих неравенства:
$a+b \ge 2\sqrt{ab}$
$b+c \ge 2\sqrt{bc}$
$c+a \ge 2\sqrt{ca}$

Поскольку обе части каждого из этих трёх неравенств являются неотрицательными, мы имеем право их перемножить, при этом знак неравенства сохранится. Произведение левых частей будет не меньше произведения правых частей: $$ (a+b)(b+c)(c+a) \ge (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca}) $$

Теперь упростим правую часть полученного неравенства: $$ (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca}) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{ab \cdot bc \cdot ca} = 8 \sqrt{a^2b^2c^2} $$

Так как по условию $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$, то корень из произведения их квадратов равен их произведению: $\sqrt{a^2b^2c^2} = \sqrt{(abc)^2} = |abc| = abc$. Следовательно, правая часть равна $8abc$.

Подставив это упрощенное выражение обратно в наше неравенство, мы получаем итоговый результат: $$ (a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано путем троекратного применения неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом для неотрицательных пар чисел $(a, b)$, $(b, c)$ и $(c, a)$ и последующего перемножения полученных неравенств.