Номер 141, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 141, страница 49.

141 а) Докажите, что если $a < b$, то $a < 0,17a + 0,83b < b$.

б) Докажите, что если $a < b$ и $m$ и $n$ — положительные действительные числа, сумма которых равна 1, то $a < am + bn < b$.

а)

Нам дано неравенство $a < b$. Требуется доказать двойное неравенство $a < 0,17a + 0,83b < b$. Доказательство можно провести, доказав два неравенства по отдельности: $a < 0,17a + 0,83b$ и $0,17a + 0,83b < b$.

1. Докажем, что $a < 0,17a + 0,83b$. Заметим, что $0,17 + 0,83 = 1$. Мы можем представить $a$ как $a \cdot 1 = a(0,17 + 0,83) = 0,17a + 0,83a$. Тогда доказываемое неравенство принимает вид: $0,17a + 0,83a < 0,17a + 0,83b$ Вычтем из обеих частей слагаемое $0,17a$: $0,83a < 0,83b$ Так как $0,83 > 0$, разделим обе части неравенства на $0,83$, сохранив знак: $a < b$ Это соответствует исходному условию, следовательно, первое неравенство доказано.

2. Докажем, что $0,17a + 0,83b < b$. Аналогично, представим $b$ как $b \cdot 1 = b(0,17 + 0,83) = 0,17b + 0,83b$. Подставим это выражение в правую часть доказываемого неравенства: $0,17a + 0,83b < 0,17b + 0,83b$ Вычтем из обеих частей слагаемое $0,83b$: $0,17a < 0,17b$ Так как $0,17 > 0$, разделим обе части неравенства на $0,17$, сохранив знак: $a < b$ Это также соответствует исходному условию, следовательно, второе неравенство доказано.

Поскольку мы доказали оба неравенства, то исходное двойное неравенство $a < 0,17a + 0,83b < b$ является верным.

Ответ: Доказано.

б)

Нам даны условия: $a < b$, а также $m$ и $n$ — положительные действительные числа ($m > 0$, $n > 0$), сумма которых равна 1 ($m + n = 1$). Требуется доказать двойное неравенство $a < am + bn < b$. Это утверждение является обобщением пункта а), где $m = 0,17$ и $n = 0,83$. Доказательство проведем аналогично, разбив его на две части.

1. Докажем, что $a < am + bn$. Используя условие $m + n = 1$, представим $a$ в виде $a = a \cdot 1 = a(m+n) = am + an$. Подставим это в левую часть доказываемого неравенства: $am + an < am + bn$ Вычтем из обеих частей слагаемое $am$: $an < bn$ По условию $n > 0$, поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $n$, не меняя его знака: $a < b$ Это совпадает с исходным условием, значит, первая часть неравенства доказана.

2. Докажем, что $am + bn < b$. Используя условие $m + n = 1$, представим $b$ в виде $b = b \cdot 1 = b(m+n) = bm + bn$. Подставим это в правую часть доказываемого неравенства: $am + bn < bm + bn$ Вычтем из обеих частей слагаемое $bn$: $am < bm$ По условию $m > 0$, поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $m$, не меняя его знака: $a < b$ Это также совпадает с исходным условием, значит, вторая часть неравенства доказана.

Поскольку мы доказали оба неравенства ($a < am + bn$ и $am + bn < b$), то двойное неравенство $a < am + bn < b$ является верным.

Ответ: Доказано.