Номер 135, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 135, страница 48.

135 Докажите, что для положительных чисел p и q:

а) $p^3 + q^3 \ge p^2 q + pq^2$;

б) $p^4 + q^4 \ge p^3 q + pq^3$.

а)

Для доказательства неравенства $p^3 + q^3 \geq p^2q + pq^2$ перенесем все члены в левую часть и преобразуем выражение:
$p^3 + q^3 - p^2q - pq^2 \geq 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(p^3 - p^2q) + (q^3 - pq^2) \geq 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$p^2(p - q) - q^2(p - q) \geq 0$
Вынесем общий множитель $(p - q)$:
$(p^2 - q^2)(p - q) \geq 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(p - q)(p + q)(p - q) \geq 0$
$(p - q)^2(p + q) \geq 0$

Полученное неравенство является верным для любых положительных $p$ и $q$, так как:
1. $(p - q)^2 \geq 0$ как квадрат любого действительного числа.
2. $p + q > 0$, поскольку по условию $p$ и $q$ — положительные числа.

Произведение неотрицательного множителя $(p - q)^2$ и положительного множителя $(p + q)$ всегда неотрицательно. Следовательно, исходное неравенство доказано. Равенство в неравенстве достигается, когда $(p-q)^2 = 0$, то есть при $p=q$.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Для доказательства неравенства $p^4 + q^4 \geq p^3q + pq^3$ перенесем все члены в левую часть и преобразуем выражение:
$p^4 + q^4 - p^3q - pq^3 \geq 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(p^4 - p^3q) + (q^4 - pq^3) \geq 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$p^3(p - q) - q^3(p - q) \geq 0$
Вынесем общий множитель $(p - q)$:
$(p^3 - q^3)(p - q) \geq 0$

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$(p - q)(p^2 + pq + q^2)(p - q) \geq 0$
$(p - q)^2(p^2 + pq + q^2) \geq 0$

Полученное неравенство является верным для любых положительных $p$ и $q$, так как:
1. $(p - q)^2 \geq 0$ как квадрат любого действительного числа.
2. $p^2 + pq + q^2 > 0$. Поскольку по условию $p > 0$ и $q > 0$, то $p^2 > 0$, $pq > 0$, $q^2 > 0$, и их сумма также строго положительна.

Произведение неотрицательного множителя $(p - q)^2$ и положительного множителя $(p^2 + pq + q^2)$ всегда неотрицательно. Следовательно, исходное неравенство доказано. Равенство достигается, когда $(p-q)^2 = 0$, то есть при $p=q$.

Ответ: Неравенство доказано.