Номер 130, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 130, страница 47.

130 Известно, что $x > 2$. Сравните с нулём:

1) $x - 2, 2 - x, x - 1, 1 - x;$

2) $x(2 - x), (x - 1)(x - 2), (2 - x)(x - 1).$

1) Сравним с нулём выражения $x - 2$, $2 - x$, $x - 1$, $1 - x$, используя условие $x > 2$.

• Для выражения $x - 2$:

  Поскольку $x > 2$, мы можем вычесть 2 из обеих частей неравенства, чтобы получить:

  $x - 2 > 2 - 2$

  $x - 2 > 0$

  Таким образом, выражение $x-2$ положительно (больше нуля).

• Для выражения $2 - x$:

  Это выражение является противоположным к предыдущему: $2 - x = -(x - 2)$. Поскольку мы уже установили, что $x-2 > 0$, то:

  $ -(x - 2) < 0$

  $2 - x < 0$

  Таким образом, выражение $2-x$ отрицательно (меньше нуля).

• Для выражения $x - 1$:

  Нам известно, что $x > 2$. Поскольку $2 > 1$, то по свойству транзитивности $x > 1$. Вычтем 1 из обеих частей неравенства $x > 1$:

  $x - 1 > 1 - 1$

  $x - 1 > 0$

  Таким образом, выражение $x-1$ положительно (больше нуля).

• Для выражения $1 - x$:

  Это выражение является противоположным к $x - 1$. Так как $x - 1 > 0$, то:

  $1 - x = -(x-1) < 0$

  Таким образом, выражение $1-x$ отрицательно (меньше нуля).

Ответ: $x - 2 > 0$; $2 - x < 0$; $x - 1 > 0$; $1 - x < 0$.

2) Сравним с нулём произведения $x(2 - x)$, $(x - 1)(x - 2)$, $(2 - x)(x - 1)$.

• Для выражения $x(2 - x)$:

  Определим знаки множителей. Из условия $x > 2$ следует, что $x$ — положительное число ($x > 0$). Из пункта 1 мы знаем, что множитель $2 - x$ — отрицательное число ($2 - x < 0$). Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.

  $x(2 - x) < 0$

  Следовательно, выражение меньше нуля.

• Для выражения $(x - 1)(x - 2)$:

  Определим знаки множителей. Из пункта 1 мы знаем, что $x - 1 > 0$ (положительное) и $x - 2 > 0$ (положительное). Произведение двух положительных чисел есть число положительное.

  $(x - 1)(x - 2) > 0$

  Следовательно, выражение больше нуля.

• Для выражения $(2 - x)(x - 1)$:

  Определим знаки множителей. Из пункта 1 мы знаем, что $2 - x < 0$ (отрицательное) и $x - 1 > 0$ (положительное). Произведение отрицательного числа на положительное есть число отрицательное.

  $(2 - x)(x - 1) < 0$

  Следовательно, выражение меньше нуля.

Ответ: $x(2 - x) < 0$; $(x - 1)(x - 2) > 0$; $(2 - x)(x - 1) < 0$.