Номер 124, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 124, страница 46.

124 Поставьте вместо многоточия такой знак неравенства, чтобы получившееся утверждение было верным:

а) если $x \le y$, то $x - y ... 0;

б) если $a > c$, то $a - c ... 0;

в) если $a - b < 0$, то $a ... b;

г) если $x - y \ge 0$, то $x ... y;

д) если $a > b$, то $b - a ... 0;

е) если $c - y \le 0$, то $y - c ... 0.

Для решения данной задачи мы будем использовать основные свойства числовых неравенств:

• Если к обеим частям верного неравенства прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство.
• Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
• Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

а)

Дано неравенство $x \le y$. Чтобы сравнить выражение $x - y$ с нулем, вычтем $y$ из обеих частей неравенства. Согласно свойствам неравенств, знак неравенства при этом не изменится:

$x - y \le y - y$

$x - y \le 0$

Ответ: $x - y \le 0$.

б)

Дано неравенство $a > c$. Чтобы сравнить выражение $a - c$ с нулем, вычтем $c$ из обеих частей неравенства. Знак неравенства сохранится:

$a - c > c - c$

$a - c > 0$

Ответ: $a - c > 0$.

в)

Дано неравенство $a - b < 0$. Чтобы сравнить $a$ и $b$, прибавим $b$ к обеим частям неравенства. Знак неравенства не изменится:

$a - b + b < 0 + b$

$a < b$

Ответ: $a < b$.

г)

Дано неравенство $x - y \ge 0$. Чтобы сравнить $x$ и $y$, прибавим $y$ к обеим частям неравенства. Знак неравенства сохранится:

$x - y + y \ge 0 + y$

$x \ge y$

Ответ: $x \ge y$.

д)

Дано неравенство $a > b$. Нам нужно получить выражение $b - a$. Для этого сначала вычтем $a$ из обеих частей:

$a - a > b - a$

$0 > b - a$

Запишем это неравенство в более привычном виде, поменяв местами левую и правую части и развернув знак неравенства:

$b - a < 0$

Ответ: $b - a < 0$.

е)

Дано неравенство $c - y \le 0$. Нам нужно получить выражение $y - c$. Заметим, что $y - c = -(c - y)$. Умножим исходное неравенство на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\le$ на $\ge$):

$(c - y) \cdot (-1) \ge 0 \cdot (-1)$

$-c + y \ge 0$

$y - c \ge 0$

Ответ: $y - c \ge 0$.