Номер 120, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 120, страница 41.

120 1) Найдите промежуток, на котором функции $y = -2x + 4$ и $y = \frac{1}{2}x + 2$ одновременно принимают положительные значения. Начертите в одной системе координат графики этих функций и отметьте на оси $x$ соответствующий промежуток.

2) Укажите какое-нибудь значение аргумента, не принадлежащее отмеченному промежутку, и определите знак каждой из функций при этом значении.

3) Существуют ли значения аргумента, при которых обе функции отрицательны? Проверьте свой ответ, решив систему неравенств.

1)

Чтобы найти промежуток, на котором функции $y = -2x + 4$ и $y = \frac{1}{2}x + 2$ одновременно принимают положительные значения, необходимо решить систему линейных неравенств:

$$ \begin{cases} -2x + 4 > 0 \\ \frac{1}{2}x + 2 > 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:

$-2x + 4 > 0$

$-2x > -4$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$

Второе неравенство:

$\frac{1}{2}x + 2 > 0$

$\frac{1}{2}x > -2$

Умножим обе части на 2:

$x > -4$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x < 2$ и $x > -4$. Это соответствует промежутку $(-4, 2)$.

Теперь начертим графики этих функций в одной системе координат. Обе функции являются линейными, их графики — прямые. Для построения каждой прямой найдем по две точки.

Для функции $y_1 = -2x + 4$:

• Если $x=0$, то $y_1 = -2(0) + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• Если $y_1=0$, то $0 = -2x + 4$, откуда $2x = 4$, $x=2$. Точка $(2, 0)$.

Для функции $y_2 = \frac{1}{2}x + 2$:

• Если $x=0$, то $y_2 = \frac{1}{2}(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $y_2=0$, то $0 = \frac{1}{2}x + 2$, откуда $\frac{1}{2}x = -2$, $x=-4$. Точка $(-4, 0)$.

Построим график и отметим на оси $x$ промежуток $(-4, 2)$.

На графике видно, что обе прямые (синяя и красная) находятся выше оси $x$ (то есть $y>0$) на интервале от $-4$ до $2$. Этот промежуток выделен на оси $x$ зеленой линией. Точки $x=-4$ и $x=2$ не включаются в промежуток, так как в них одна из функций равна нулю.

Ответ: Промежуток, на котором обе функции принимают положительные значения, — $x \in (-4, 2)$.

2)

Укажем значение аргумента, не принадлежащее отмеченному промежутку $(-4, 2)$. Возьмем, например, $x = 4$.

Определим знак каждой из функций при этом значении.

Для функции $y = -2x + 4$:

$y(4) = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4$.

Значение функции отрицательное (знак "минус").

Для функции $y = \frac{1}{2}x + 2$:

$y(4) = \frac{1}{2}(4) + 2 = 2 + 2 = 4$.

Значение функции положительное (знак "плюс").

Ответ: При $x=4$ (значение не из промежутка $(-4, 2)$), функция $y = -2x + 4$ отрицательна (равна $-4$), а функция $y = \frac{1}{2}x + 2$ положительна (равна $4$).

3)

Чтобы выяснить, существуют ли значения аргумента, при которых обе функции отрицательны, решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} -2x + 4 < 0 \\ \frac{1}{2}x + 2 < 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство.

Первое неравенство:

$-2x + 4 < 0$

$-2x < -4$

$x > 2$

Второе неравенство:

$\frac{1}{2}x + 2 < 0$

$\frac{1}{2}x < -2$

$x < -4$

Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x > 2$ и $x < -4$.

Не существует числа, которое было бы одновременно больше $2$ и меньше $-4$. Таким образом, пересечение множеств решений $x \in (2, +\infty)$ и $x \in (-\infty, -4)$ является пустым множеством.

Следовательно, система неравенств не имеет решений.

Ответ: Не существуют такие значения аргумента, при которых обе функции отрицательны.