Номер 121, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 121, страница 41.

121 Для функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ найдите множество значений аргумента, на котором обе функции отрицательны; одна из них отрицательна, а другая положительна; обе положительны. Проиллюстрируйте своё решение с помощью графиков.

a) $f(x) = 2x + 1, g(x) = x - 3;$

б) $f(x) = -\frac{1}{2}x + 1, g(x) = \frac{1}{2}x - 2.$

а) $f(x) = 2x + 1$, $g(x) = x - 3$

Для решения задачи найдем нули каждой функции, то есть точки пересечения их графиков с осью абсцисс. Эти точки разделят числовую ось на интервалы, в каждом из которых знаки функций будут постоянны.
Для функции $f(x) = 2x + 1$: $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$.
Для функции $g(x) = x - 3$: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.

Таким образом, мы имеем три интервала для анализа: $(-\infty; -0.5)$, $(-0.5; 3)$ и $(3; \infty)$.

Множество значений аргумента, на котором обе функции отрицательны

Необходимо решить систему неравенств $f(x) < 0$ и $g(x) < 0$: $$ \begin{cases} 2x + 1 < 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x < -1 \\ x < 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -0.5 \\ x < 3 \end{cases} $$ Пересечением решений является интервал $x < -0.5$.
Ответ: $(-\infty; -0.5)$.

Множество значений аргумента, на котором одна из них отрицательна, а другая положительна

Это условие выполняется, когда функции имеют разные знаки. Такое возможно на интервале между их нулями, то есть $(-0.5; 3)$. Проверим знаки, взяв любую точку из этого интервала, например $x=0$:
$f(0) = 2(0) + 1 = 1 > 0$
$g(0) = 0 - 3 = -3 < 0$
Действительно, на этом интервале $f(x) > 0$, а $g(x) < 0$.
Ответ: $(-0.5; 3)$.

Множество значений аргумента, на котором обе функции положительны

Необходимо решить систему неравенств $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$: $$ \begin{cases} 2x + 1 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -0.5 \\ x > 3 \end{cases} $$ Пересечением решений является интервал $x > 3$.
Ответ: $(3; \infty)$.

Иллюстрация решения с помощью графиков

На графике показаны функции $f(x)$ (синяя линия) и $g(x)$ (красная линия). Вертикальные пунктирные линии, проведенные через нули функций ($x=-0.5$ и $x=3$), показывают области с постоянными знаками функций.

---

б) $f(x) = -\frac{1}{2}x + 1$, $g(x) = \frac{1}{2}x - 2$

Аналогично предыдущему пункту, найдем нули функций:
Для функции $f(x) = -\frac{1}{2}x + 1$: $-\frac{1}{2}x + 1 = 0 \implies 1 = \frac{1}{2}x \implies x = 2$.
Для функции $g(x) = \frac{1}{2}x - 2$: $\frac{1}{2}x - 2 = 0 \implies \frac{1}{2}x = 2 \implies x = 4$.

Интервалы для анализа: $(-\infty; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; \infty)$.

Множество значений аргумента, на котором обе функции отрицательны

Решим систему неравенств $f(x) < 0$ и $g(x) < 0$: $$ \begin{cases} -\frac{1}{2}x + 1 < 0 \\ \frac{1}{2}x - 2 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 1 < \frac{1}{2}x \\ \frac{1}{2}x < 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 < x \\ x < 4 \end{cases} $$ Решением системы является интервал $2 < x < 4$.
Ответ: $(2; 4)$.

Множество значений аргумента, на котором одна из них отрицательна, а другая положительна

Это условие выполняется на объединении интервалов $(-\infty; 2)$ и $(4; \infty)$.
На интервале $(-\infty; 2)$ (например, при $x=0$): $f(0)=1 > 0$, $g(0)=-2 < 0$.
На интервале $(4; \infty)$ (например, при $x=6$): $f(6)=-3+1=-2 < 0$, $g(6)=3-2=1 > 0$.
Ответ: $(-\infty; 2) \cup (4; \infty)$.

Множество значений аргумента, на котором обе функции положительны

Решим систему неравенств $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$: $$ \begin{cases} -\frac{1}{2}x + 1 > 0 \\ \frac{1}{2}x - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 1 > \frac{1}{2}x \\ \frac{1}{2}x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 > x \\ x > 4 \end{cases} $$ Система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно меньше 2 и больше 4.
Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).

Иллюстрация решения с помощью графиков

На графике синим цветом показан график функции $y = f(x)$, а красным — $y = g(x)$. Вертикальные пунктирные линии, проведенные через нули функций ($x=2$ и $x=4$), показывают соответствующие области.