Номер 116, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 116, страница 40.

116 a)

$\begin{cases}x > -3 \\x > -1 \\x < 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}y < -0,5 \\y < -\frac{1}{3} \\y < -0,6;\end{cases}$

В) $\begin{cases}2x - 5 < 0 \\x + 3 \geq 1 \\1 - 3x < 4;\end{cases}$

Г) $\begin{cases}-7y \geq 14 \\\frac{y}{3} > -1 \\3(y-1) < 6;\end{cases}$

Д) $\begin{cases}10 - 5x > 0 \\2 + x \geq 0 \\-x < 5;\end{cases}$

е) $\begin{cases}z - 4 < 0 \\-\frac{z}{7} > 1 \\3z + 1 \geq 4.\end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x > -3 \\ x > -1 \\ x < 0 \end{cases} $
Решением системы является пересечение множеств решений каждого неравенства.
Из первых двух неравенств ($x > -3$ и $x > -1$) следует более сильное условие $x > -1$.
Теперь найдем пересечение решений $x > -1$ и $x < 0$.
Это интервал от -1 до 0, не включая концы.
Таким образом, решение системы: $-1 < x < 0$.
Ответ: $(-1; 0)$

б) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y < -0,5 \\ y < -\frac{1}{3} \\ y < -0,6 \end{cases} $
Для сравнения представим все числа в виде десятичных дробей:
$-\frac{1}{3} \approx -0,333...$
Система имеет вид: $ \begin{cases} y < -0,5 \\ y < -0,333... \\ y < -0,6 \end{cases} $
Чтобы удовлетворить всем трем условиям, $y$ должен быть меньше наименьшего из этих трех чисел.
Сравниваем числа: $-0,6 < -0,5 < -0,333...$
Следовательно, наиболее строгим является неравенство $y < -0,6$.
Ответ: $(-\infty; -0,6)$

в) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x - 5 < 0 \\ x + 3 \ge 1 \\ 1 - 3x < 4 \end{cases} $
Упростим каждое неравенство:
1) $2x - 5 < 0 \implies 2x < 5 \implies x < 2,5$
2) $x + 3 \ge 1 \implies x \ge 1 - 3 \implies x \ge -2$
3) $1 - 3x < 4 \implies -3x < 3 \implies x > -1$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный)
Теперь найдем пересечение полученных решений: $x < 2,5$, $x \ge -2$ и $x > -1$.
Пересечение $x \ge -2$ и $x > -1$ дает $x > -1$.
Пересечение $x > -1$ и $x < 2,5$ дает $-1 < x < 2,5$.
Ответ: $(-1; 2,5)$

г) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} -7y \ge 14 \\ \frac{y}{3} > -1 \\ 3(y - 1) < 6 \end{cases} $
Упростим каждое неравенство:
1) $-7y \ge 14 \implies y \le -2$ (знак неравенства меняется)
2) $\frac{y}{3} > -1 \implies y > -3$
3) $3(y - 1) < 6 \implies y - 1 < 2 \implies y < 3$
Найдем пересечение решений: $y \le -2$, $y > -3$ и $y < 3$.
Пересечение $y \le -2$ и $y > -3$ дает $-3 < y \le -2$.
Все числа из этого интервала также удовлетворяют условию $y < 3$.
Таким образом, решение системы: $-3 < y \le -2$.
Ответ: $(-3; -2]$

д) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 10 - 5x > 0 \\ 2 + x \ge 0 \\ -x < 5 \end{cases} $
Упростим каждое неравенство:
1) $10 - 5x > 0 \implies -5x > -10 \implies x < 2$ (знак неравенства меняется)
2) $2 + x \ge 0 \implies x \ge -2$
3) $-x < 5 \implies x > -5$ (знак неравенства меняется)
Найдем пересечение решений: $x < 2$, $x \ge -2$ и $x > -5$.
Пересечение $x \ge -2$ и $x > -5$ дает $x \ge -2$.
Пересечение $x \ge -2$ и $x < 2$ дает $-2 \le x < 2$.
Ответ: $[-2; 2)$

е) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} z - 4 < 0 \\ -\frac{z}{7} > 1 \\ 3z + 1 \ge 4 \end{cases} $
Упростим каждое неравенство:
1) $z - 4 < 0 \implies z < 4$
2) $-\frac{z}{7} > 1 \implies -z > 7 \implies z < -7$ (знак неравенства меняется)
3) $3z + 1 \ge 4 \implies 3z \ge 3 \implies z \ge 1$
Найдем пересечение решений: $z < 4$, $z < -7$ и $z \ge 1$.
Пересечение $z < 4$ и $z < -7$ дает $z < -7$.
Теперь нужно найти пересечение $z < -7$ и $z \ge 1$.
Не существует чисел, которые одновременно меньше -7 и больше или равны 1. Следовательно, у системы нет решений.
Ответ: $\emptyset$ (нет решений)