Номер 119, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 119, страница 41.

119 При каких значениях с система неравенств

$ \begin{cases} 2x - 17 \ge 0 \\ x - c \le 0: \end{cases} $

a) имеет решения;

б) не имеет решений;

в) имеет только одно решение?

Для того чтобы ответить на поставленные вопросы, решим данную систему неравенств относительно переменной $x$.

Система неравенств:

$$ \begin{cases} 2x - 17 \ge 0 \\ x - c \le 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$2x - 17 \ge 0$

$2x \ge 17$

$x \ge \frac{17}{2}$

$x \ge 8.5$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $[8.5; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x - c \le 0$

$x \le c$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $(-\infty; c]$.

Решением системы является пересечение этих двух промежутков, то есть все значения $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $8.5 \le x \le c$. Это соответствует отрезку $[8.5; c]$.

Теперь проанализируем, при каких значениях параметра $c$ выполняются условия из каждого пункта.

а) имеет решения

Система неравенств имеет решения, если отрезок $[8.5; c]$ не является пустым множеством. Для этого левая граница отрезка должна быть меньше или равна правой границе.

То есть, должно выполняться условие: $8.5 \le c$.

Если $c > 8.5$, решением является отрезок $[8.5; c]$, содержащий бесконечное множество решений. Если $c = 8.5$, решением является одно число $x = 8.5$. В обоих случаях решения существуют.

Ответ: $c \ge 8.5$ (или $c \in [8.5; +\infty)$).

б) не имеет решений

Система неравенств не имеет решений, если отрезок $[8.5; c]$ является пустым множеством. Это происходит, когда левая граница отрезка строго больше правой границы.

То есть, должно выполняться условие: $8.5 > c$, что то же самое, что $c < 8.5$.

В этом случае не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно не меньше $8.5$ и не больше $c$.

Ответ: $c < 8.5$ (или $c \in (-\infty; 8.5)$).

в) имеет только одно решение

Система неравенств имеет ровно одно решение, если отрезок $[8.5; c]$ вырождается в одну точку. Это возможно только в том случае, когда его левая и правая границы совпадают.

То есть, должно выполняться условие: $8.5 = c$.

При $c=8.5$ система принимает вид:

$$ \begin{cases} x \ge 8.5 \\ x \le 8.5 \end{cases} $$

Единственное число, удовлетворяющее этой системе, — это $x = 8.5$.

Ответ: $c = 8.5$.