Номер 117, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 117, страница 40.

117 a) $\begin{cases} -2 < x < 7 \\ \frac{x}{5} > 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} -15 \le 3z \le -1 \\ \frac{1-z}{2} \ge 1 \end{cases}$

в) $\begin{cases} -2 \le y - 1 \le 0 \\ 1 - 2y < 3 - 2y \end{cases}$

а)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} -2 < x < 7 \\ \frac{x}{5} > 0 \end{cases} $

1. Первое неравенство $-2 < x < 7$ уже задает интервал для $x$: $x \in (-2; 7)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x}{5} > 0$. Умножим обе части на 5 (так как 5 > 0, знак неравенства не меняется):
$x > 0 \cdot 5$
$x > 0$
Это неравенство задает интервал $x \in (0; +\infty)$.

3. Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \in (-2; 7)$ и $x \in (0; +\infty)$.
Общим решением будет интервал, в котором $x$ больше 0 и меньше 7.
Следовательно, $0 < x < 7$.

Ответ: $0 < x < 7$ или $x \in (0; 7)$.

б)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} -15 \le 3z \le -1 \\ \frac{1-z}{2} \ge 1 \end{cases} $

1. Решим первое двойное неравенство $-15 \le 3z \le -1$. Разделим все части неравенства на 3 (так как 3 > 0, знаки неравенства не меняются):
$\frac{-15}{3} \le \frac{3z}{3} \le \frac{-1}{3}$
$-5 \le z \le -\frac{1}{3}$
Это неравенство задает отрезок $z \in [-5; -\frac{1}{3}]$.

2. Решим второе неравенство $\frac{1-z}{2} \ge 1$. Умножим обе части на 2:
$1 - z \ge 2$
Вычтем 1 из обеих частей:
$-z \ge 2 - 1$
$-z \ge 1$
Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$z \le -1$
Это неравенство задает луч $z \in (-\infty; -1]$.

3. Найдем пересечение решений: $z \in [-5; -\frac{1}{3}]$ и $z \in (-\infty; -1]$.
Общим решением будут значения $z$, которые больше или равны -5 и одновременно меньше или равны -1.
Следовательно, $-5 \le z \le -1$.

Ответ: $-5 \le z \le -1$ или $z \in [-5; -1]$.

в)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} -2 \le y - 1 \le 0 \\ 1 - 2y < 3 - 2y \end{cases} $

1. Решим первое двойное неравенство $-2 \le y - 1 \le 0$. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-2 + 1 \le y - 1 + 1 \le 0 + 1$
$-1 \le y \le 1$
Это неравенство задает отрезок $y \in [-1; 1]$.

2. Решим второе неравенство $1 - 2y < 3 - 2y$. Прибавим $2y$ к обеим частям:
$1 - 2y + 2y < 3 - 2y + 2y$
$1 < 3$
Это неравенство является верным числовым равенством, не зависящим от переменной $y$. Это означает, что решением второго неравенства является любое действительное число, то есть $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $y \in [-1; 1]$ и $y \in (-\infty; +\infty)$.
Пересечение множества $[-1; 1]$ с множеством всех действительных чисел есть само множество $[-1; 1]$.
Следовательно, $-1 \le y \le 1$.

Ответ: $-1 \le y \le 1$ или $y \in [-1; 1]$.