Номер 110, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 110, страница 39.

110 a) $-3 < 2x + 1 < 15$;

б) $1 \le 10 - z \le 9$;

в) $-14 \le 1 - 3y \le -11$;

г) $-3 < 1 + 4x < 0$;

д) $\frac{1}{3} < -2 - y < \frac{1}{2}$;

е) $-5 \le 5z - 3 < 7$.

а) $-3 < 2x + 1 < 15$

Чтобы решить двойное неравенство, выполним преобразования одновременно для всех его частей. Сначала вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-3 - 1 < 2x + 1 - 1 < 15 - 1$

$-4 < 2x < 14$

Теперь разделим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-4}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{14}{2}$

$-2 < x < 7$

Решение можно записать в виде интервала.

Ответ: $(-2; 7)$.

б) $1 \le 10 - z \le 9$

Вычтем 10 из всех частей неравенства:

$1 - 10 \le 10 - z - 10 \le 9 - 10$

$-9 \le -z \le -1$

Умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-9) \cdot (-1) \ge (-z) \cdot (-1) \ge (-1) \cdot (-1)$

$9 \ge z \ge 1$

Запишем неравенство в привычном виде, от меньшего числа к большему:

$1 \le z \le 9$

Решение можно записать в виде числового отрезка.

Ответ: $[1; 9]$.

в) $-14 \le 1 - 3y \le -11$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-14 - 1 \le 1 - 3y - 1 \le -11 - 1$

$-15 \le -3y \le -12$

Разделим все части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-15}{-3} \ge \frac{-3y}{-3} \ge \frac{-12}{-3}$

$5 \ge y \ge 4$

Запишем неравенство в привычном виде:

$4 \le y \le 5$

Ответ: $[4; 5]$.

г) $-3 < 1 + 4x < 0$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-3 - 1 < 1 + 4x - 1 < 0 - 1$

$-4 < 4x < -1$

Разделим все части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется:

$\frac{-4}{4} < \frac{4x}{4} < \frac{-1}{4}$

$-1 < x < -\frac{1}{4}$

Ответ: $(-1; -1/4)$.

д) $\frac{1}{3} < -2 - y < \frac{1}{2}$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$\frac{1}{3} + 2 < -2 - y + 2 < \frac{1}{2} + 2$

$\frac{1}{3} + \frac{6}{3} < -y < \frac{1}{2} + \frac{4}{2}$

$\frac{7}{3} < -y < \frac{5}{2}$

Умножим все части неравенства на -1, меняя знаки неравенства на противоположные:

$-\frac{7}{3} > y > -\frac{5}{2}$

Запишем неравенство в привычном виде, от меньшего числа к большему:

$-\frac{5}{2} < y < -\frac{7}{3}$

Ответ: $(-5/2; -7/3)$.

е) $-5 \le 5z - 3 < 7$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-5 + 3 \le 5z - 3 + 3 < 7 + 3$

$-2 \le 5z < 10$

Разделим все части неравенства на 5. Знак неравенства не меняется:

$\frac{-2}{5} \le \frac{5z}{5} < \frac{10}{5}$

$-\frac{2}{5} \le z < 2$

Ответ: $[-2/5; 2)$.