Номер 105, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 105, страница 38.

105 Решите систему неравенств и ответьте на вопрос, сколько целых решений имеет эта система:

а) $\begin{cases} x - 2 > -1 \\ x + 5 < 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y - 3 < 2 \\ y + 2 \ge -6; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5 - z < 2 \\ 4 + z > 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 1 + y \le -3 \\ y - 2 \ge -8; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x - 1 \le -1 \\ 2x - 1 \ge -6; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 9 - 2z > 11 \\ 3z - 4 < 5. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x - 2 > -1 \\ x + 5 < 9 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x - 2 > -1$.

Прибавим 2 к обеим частям: $x > -1 + 2$.

Получаем: $x > 1$.

2. Решим второе неравенство: $x + 5 < 9$.

Вычтем 5 из обеих частей: $x < 9 - 5$.

Получаем: $x < 4$.

3. Объединим решения. Решением системы является интервал, в котором выполняются оба условия: $1 < x < 4$.

4. Найдем целые числа, принадлежащие этому интервалу. Это 2 и 3.

Система имеет 2 целых решения.

Ответ: 2.

б)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} y - 3 < 2 \\ y + 2 \ge -6 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $y - 3 < 2$.

Прибавим 3 к обеим частям: $y < 2 + 3$.

Получаем: $y < 5$.

2. Решим второе неравенство: $y + 2 \ge -6$.

Вычтем 2 из обеих частей: $y \ge -6 - 2$.

Получаем: $y \ge -8$.

3. Объединим решения: $-8 \le y < 5$.

4. Найдем целые числа в этом промежутке: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Количество целых решений равно $4 - (-8) + 1 = 13$.

Ответ: 13.

в)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 5 - z < 2 \\ 4 + z > 7 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $5 - z < 2$.

Вычтем 5 из обеих частей: $-z < 2 - 5$, что дает $-z < -3$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $z > 3$.

2. Решим второе неравенство: $4 + z > 7$.

Вычтем 4 из обеих частей: $z > 7 - 4$.

Получаем: $z > 3$.

3. Оба неравенства дают одно и то же решение: $z > 3$.

4. Целые решения - это все целые числа, которые больше 3: 4, 5, 6, 7, ... и так далее до бесконечности.

Система имеет бесконечно много целых решений.

Ответ: бесконечно много.

г)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 1 + y \le -3 \\ y - 2 \ge -8 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $1 + y \le -3$.

Вычтем 1 из обеих частей: $y \le -3 - 1$.

Получаем: $y \le -4$.

2. Решим второе неравенство: $y - 2 \ge -8$.

Прибавим 2 к обеим частям: $y \ge -8 + 2$.

Получаем: $y \ge -6$.

3. Объединим решения: $-6 \le y \le -4$.

4. Найдем целые числа в этом промежутке: -6, -5, -4.

Система имеет 3 целых решения.

Ответ: 3.

д)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2x - 1 \le -1 \\ 2x - 1 \ge -6 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $2x - 1 \le -1$.

Прибавим 1 к обеим частям: $2x \le 0$.

Разделим на 2: $x \le 0$.

2. Решим второе неравенство: $2x - 1 \ge -6$.

Прибавим 1 к обеим частям: $2x \ge -5$.

Разделим на 2: $x \ge -2.5$.

3. Объединим решения: $-2.5 \le x \le 0$.

4. Найдем целые числа в этом промежутке: -2, -1, 0.

Система имеет 3 целых решения.

Ответ: 3.

е)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 9 - 2z > 11 \\ 3z - 4 < 5 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $9 - 2z > 11$.

Вычтем 9 из обеих частей: $-2z > 2$.

Разделим на -2, изменив знак неравенства: $z < -1$.

2. Решим второе неравенство: $3z - 4 < 5$.

Прибавим 4 к обеим частям: $3z < 9$.

Разделим на 3: $z < 3$.

3. Объединим решения. Мы должны удовлетворить обоим условиям: $z < -1$ и $z < 3$. Пересечением этих условий является $z < -1$.

4. Целые решения - это все целые числа, которые меньше -1: -2, -3, -4, ... и так далее до бесконечности.

Система имеет бесконечно много целых решений.

Ответ: бесконечно много.