Номер 100, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 100, страница 34.

100 При каких значениях $a$ уравнение имеет два корня:

а) $ax^2 + 2x + 6 = 0$;

б) $ax^2 - 3x - 4 = 0?$

a) Рассмотрим уравнение $ax^2 + 2x + 6 = 0$.
Чтобы данное уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы оно было квадратным и его дискриминант был строго положительным.
1. Условие, что уравнение является квадратным: коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю, то есть $a \neq 0$. Если $a = 0$, уравнение становится линейным: $2x + 6 = 0$, и имеет только один корень $x = -3$, что не удовлетворяет условию о двух корнях.
2. Условие положительности дискриминанта ($D > 0$). Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.
Для нашего уравнения коэффициенты $b=2$, $c=6$, а коэффициент при $x^2$ равен $a$.
$D = 2^2 - 4 \cdot a \cdot 6 = 4 - 24a$.
Решим неравенство $D > 0$:
$4 - 24a > 0$
$4 > 24a$
$a < \frac{4}{24}$
$a < \frac{1}{6}$
Объединяем оба условия: $a \neq 0$ и $a < \frac{1}{6}$. Это означает, что $a$ может быть любым числом, меньшим $\frac{1}{6}$, кроме нуля. В виде интервалов это записывается как объединение $(-\infty, 0)$ и $(0, \frac{1}{6})$.
Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{1}{6})$.

б) Рассмотрим уравнение $ax^2 - 3x - 4 = 0$.
Аналогично предыдущему пункту, для наличия двух различных корней необходимо выполнение двух условий.
1. Уравнение должно быть квадратным: $a \neq 0$. Если $a = 0$, уравнение становится линейным: $-3x - 4 = 0$, и имеет только один корень $x = -\frac{4}{3}$, что не удовлетворяет условию.
2. Дискриминант должен быть строго положительным ($D > 0$).
Для нашего уравнения коэффициенты $b=-3$, $c=-4$, а коэффициент при $x^2$ равен $a$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot a \cdot (-4) = 9 + 16a$.
Решим неравенство $D > 0$:
$9 + 16a > 0$
$16a > -9$
$a > -\frac{9}{16}$
Объединяем два условия: $a \neq 0$ и $a > -\frac{9}{16}$. Это означает, что $a$ может быть любым числом, большим $-\frac{9}{16}$, кроме нуля. В виде интервалов это записывается как объединение $(-\frac{9}{16}, 0)$ и $(0, +\infty)$.
Ответ: $a \in (-\frac{9}{16}, 0) \cup (0, +\infty)$.