Номер 95, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 95, страница 33.

95. Найдите все положительные решения неравенства:

a) $ \frac{x}{2} - 3 < \frac{x}{3} - 1; $

б) $ 2x + \frac{1}{4} < \frac{x}{2} + 4. $

а) Дано неравенство $\frac{x}{2} - 3 < \frac{x}{3} - 1$.

Чтобы избавиться от дробей в знаменателе, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, которое равно 6. Так как 6 > 0, знак неравенства не изменится.

$6 \cdot (\frac{x}{2} - 3) < 6 \cdot (\frac{x}{3} - 1)$

Раскроем скобки:

$6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot 3 < 6 \cdot \frac{x}{3} - 6 \cdot 1$

$3x - 18 < 2x - 6$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части неравенства, а числовые слагаемые — в правой части. Для этого вычтем $2x$ из обеих частей и прибавим 18 к обеим частям:

$3x - 2x < 18 - 6$

$x < 12$

По условию задачи требуется найти все положительные решения. Это означает, что $x$ должен быть больше нуля, то есть $x > 0$.

Объединим оба условия в систему неравенств:

$\begin{cases} x < 12 \\ x > 0 \end{cases}$

Решением этой системы является пересечение промежутков $(-\infty, 12)$ и $(0, +\infty)$, что дает нам интервал $(0, 12)$.

Ответ: $x \in (0, 12)$.

б) Дано неравенство $2x + \frac{1}{4} < \frac{x}{2} + 4$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 2, которое равно 4. Знак неравенства при этом не изменится, так как 4 > 0.

$4 \cdot (2x + \frac{1}{4}) < 4 \cdot (\frac{x}{2} + 4)$

Раскроем скобки:

$4 \cdot 2x + 4 \cdot \frac{1}{4} < 4 \cdot \frac{x}{2} + 4 \cdot 4$

$8x + 1 < 2x + 16$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$8x - 2x < 16 - 1$

$6x < 15$

Разделим обе части неравенства на 6:

$x < \frac{15}{6}$

Сократим дробь в правой части:

$x < \frac{5}{2}$

Можно также записать в виде десятичной дроби: $x < 2.5$.

Согласно условию, мы ищем только положительные решения, то есть $x > 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} x < \frac{5}{2} \\ x > 0 \end{cases}$

Решением системы является интервал $(0, \frac{5}{2})$.

Ответ: $x \in (0, \frac{5}{2})$.