Номер 90, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 90, страница 32.

90 Объясните, почему неравенство не имеет решения или почему его решением является любое число:

a) $x < x + 5;$

б) $x > x - 1;$

в) $2x - 3 < 2x + 4;$

г) $x^2 < 0;$

д) $x^2 + 1 \ge 0;$

е) $|x + 10| < 0.$

а) В неравенстве $x < x + 5$ вычтем из обеих частей $x$. Получим $x - x < 5$, что равносильно $0 < 5$. Это верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, исходное неравенство выполняется при любом значении $x$.
Ответ: решением является любое число.

б) В неравенстве $x > x - 1$ вычтем из обеих частей $x$. Получим $x - x > -1$, что равносильно $0 > -1$. Это верное числовое неравенство, истинность которого не зависит от $x$. Таким образом, любое число является решением этого неравенства.
Ответ: решением является любое число.

в) В неравенстве $2x - 3 < 2x + 4$ перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. Получим $2x - 2x < 4 + 3$. После упрощения приходим к верному числовому неравенству $0 < 7$. Так как это неравенство верно и не содержит переменную $x$, то исходное неравенство справедливо для любого действительного числа $x$.
Ответ: решением является любое число.

г) Рассмотрим неравенство $x^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа ($x^2$) по определению является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. Неравенство требует, чтобы квадрат числа был строго меньше нуля, что невозможно ни для какого действительного числа. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

д) Рассмотрим неравенство $x^2 + 1 \ge 0$. Левая часть этого неравенства является суммой двух слагаемых. Первое слагаемое, $x^2$, всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного $x$. Второе слагаемое — это положительное число $1$. Сумма неотрицательного числа ($x^2$) и положительного числа ($1$) всегда будет положительным числом. Минимальное значение выражения $x^2 + 1$ достигается при $x=0$ и равно $0^2 + 1 = 1$. Так как $1 \ge 0$, то и $x^2 + 1 \ge 0$ будет верно при любом значении $x$.
Ответ: решением является любое число.

е) Рассмотрим неравенство $|x + 10| < 0$. Модуль (абсолютная величина) любого числа или выражения по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x + 10| \ge 0$ для любого значения $x$. Неравенство требует, чтобы значение модуля было строго меньше нуля, что противоречит определению модуля. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором это неравенство было бы верным.
Ответ: решений нет.