Номер 84, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 84, страница 31.

84 Определите, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения и при каких — отрицательные значения:

а) $y = 3x - 2$;

б) $y = -4x - 1$;

в) $y = x + 5$;

г) $y = -0.5x$.

В каждом случае проиллюстрируйте своё решение с помощью графиков функции.

Для определения, при каких значениях аргумента $x$ функция принимает положительные или отрицательные значения, необходимо решить неравенства $y > 0$ и $y < 0$ соответственно. Результаты проиллюстрируем графиками.

а) $y = 3x - 2$

1. Найдем, при каких $x$ функция положительна ($y > 0$):

$3x - 2 > 0$

$3x > 2$

$x > \frac{2}{3}$

2. Найдем, при каких $x$ функция отрицательна ($y < 0$):

$3x - 2 < 0$

$3x < 2$

$x < \frac{2}{3}$

3. Для построения графика найдем точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью OY (при $x=0$): $y = 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
• Пересечение с осью OX (при $y=0$): $0 = 3x - 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. Точка $(\frac{2}{3}, 0)$.

График функции:

На графике зеленая часть прямой (где $y>0$) находится при $x > \frac{2}{3}$, а красная часть (где $y<0$) — при $x < \frac{2}{3}$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x > \frac{2}{3}$, отрицательные значения при $x < \frac{2}{3}$.

---

б) $y = -4x - 1$

1. Найдем, при каких $x$ функция положительна ($y > 0$):

$-4x - 1 > 0$

$-4x > 1$

При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < -\frac{1}{4}$

2. Найдем, при каких $x$ функция отрицательна ($y < 0$):

$-4x - 1 < 0$

$-4x < 1$

$x > -\frac{1}{4}$

3. Для построения графика найдем точки пересечения с осями:

• Пересечение с осью OY (при $x=0$): $y = -4 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• Пересечение с осью OX (при $y=0$): $0 = -4x - 1 \Rightarrow 4x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$. Точка $(-\frac{1}{4}, 0)$.

График функции:

На графике зеленая часть прямой (где $y>0$) находится при $x < -\frac{1}{4}$, а красная часть (где $y<0$) — при $x > -\frac{1}{4}$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x < -\frac{1}{4}$, отрицательные значения при $x > -\frac{1}{4}$.

---

в) $y = x + 5$

1. Найдем, при каких $x$ функция положительна ($y > 0$):

$x + 5 > 0$

$x > -5$

2. Найдем, при каких $x$ функция отрицательна ($y < 0$):

$x + 5 < 0$

$x < -5$

3. Для построения графика найдем точки пересечения с осями:

• Пересечение с осью OY (при $x=0$): $y = 0 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
• Пересечение с осью OX (при $y=0$): $0 = x + 5 \Rightarrow x = -5$. Точка $(-5, 0)$.

График функции:

На графике зеленая часть прямой (где $y>0$) находится при $x > -5$, а красная часть (где $y<0$) — при $x < -5$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x > -5$, отрицательные значения при $x < -5$.

---

г) $y = -0,5x$

1. Найдем, при каких $x$ функция положительна ($y > 0$):

$-0,5x > 0$

При делении на -0,5 знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 0$

2. Найдем, при каких $x$ функция отрицательна ($y < 0$):

$-0,5x < 0$

$x > 0$

3. Эта функция — прямая пропорциональность, ее график проходит через начало координат. Найдем еще одну точку для построения:

• Пересечение с осями: точка $(0, 0)$.
• Возьмем $x=2$: $y = -0,5 \cdot 2 = -1$. Точка $(2, -1)$.

График функции:

На графике зеленая часть прямой (где $y>0$) находится при $x < 0$, а красная часть (где $y<0$) — при $x > 0$. При $x=0$ функция равна нулю.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x < 0$, отрицательные значения при $x > 0$.