Страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

82 a) $\frac{2y}{3} - \frac{y}{6} < 1;$

б) $\frac{12 - 2x}{3} > \frac{3x - 1}{4};$

в) $\frac{2z + 9}{5} \ge \frac{1 - 3z}{7};$

г) $\frac{4x + 1}{2} > \frac{7x - 30}{6};$

д) $\frac{y + 17}{4} < \frac{3(10 + y)}{5};$

е) $\frac{2(z - 2)}{9} \le \frac{3 + z}{7}.$

а) Исходное неравенство: $\frac{2y}{3} - \frac{y}{6} < 1$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, то есть на 6. Так как 6 > 0, знак неравенства не меняется.
$6 \cdot \left(\frac{2y}{3} - \frac{y}{6}\right) < 6 \cdot 1$
$6 \cdot \frac{2y}{3} - 6 \cdot \frac{y}{6} < 6$
$2 \cdot 2y - y < 6$
$4y - y < 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3y < 6$
Разделим обе части на 3. Так как 3 > 0, знак неравенства не меняется.
$y < \frac{6}{3}$
$y < 2$
Ответ: $y < 2$ (или $y \in (-\infty; 2)$).

б) Исходное неравенство: $\frac{12 - 2x}{3} > \frac{3x - 1}{4}$.
Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12.
$12 \cdot \frac{12 - 2x}{3} > 12 \cdot \frac{3x - 1}{4}$
$4(12 - 2x) > 3(3x - 1)$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$48 - 8x > 9x - 3$
Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую, меняя знаки при переносе:
$48 + 3 > 9x + 8x$
$51 > 17x$
Разделим обе части на 17. Так как 17 > 0, знак неравенства не меняется.
$\frac{51}{17} > x$
$3 > x$, что эквивалентно $x < 3$.
Ответ: $x < 3$ (или $x \in (-\infty; 3)$).

в) Исходное неравенство: $\frac{2z + 9}{5} \ge \frac{1 - 3z}{7}$.
Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 7, то есть на 35.
$35 \cdot \frac{2z + 9}{5} \ge 35 \cdot \frac{1 - 3z}{7}$
$7(2z + 9) \ge 5(1 - 3z)$
Раскроем скобки:
$14z + 63 \ge 5 - 15z$
Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$14z + 15z \ge 5 - 63$
$29z \ge -58$
Разделим обе части на 29:
$z \ge \frac{-58}{29}$
$z \ge -2$
Ответ: $z \ge -2$ (или $z \in [-2; +\infty)$).

г) Исходное неравенство: $\frac{4x + 1}{2} > \frac{7x - 30}{6}$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 6:
$6 \cdot \frac{4x + 1}{2} > 6 \cdot \frac{7x - 30}{6}$
$3(4x + 1) > 7x - 30$
Раскроем скобки:
$12x + 3 > 7x - 30$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$12x - 7x > -30 - 3$
$5x > -33$
Разделим обе части на 5:
$x > -\frac{33}{5}$
$x > -6.6$
Ответ: $x > -6.6$ (или $x \in (-6.6; +\infty)$).

д) Исходное неравенство: $\frac{y + 17}{4} < \frac{3(10 + y)}{5}$.
Сначала раскроем скобки в числителе правой части: $\frac{y + 17}{4} < \frac{30 + 3y}{5}$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 20:
$20 \cdot \frac{y + 17}{4} < 20 \cdot \frac{30 + 3y}{5}$
$5(y + 17) < 4(30 + 3y)$
Раскроем скобки:
$5y + 85 < 120 + 12y$
Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$85 - 120 < 12y - 5y$
$-35 < 7y$
Разделим обе части на 7:
$\frac{-35}{7} < y$
$-5 < y$, что эквивалентно $y > -5$.
Ответ: $y > -5$ (или $y \in (-5; +\infty)$).

е) Исходное неравенство: $\frac{2(z - 2)}{9} \le \frac{3 + z}{7}$.
Раскроем скобки в числителе левой части: $\frac{2z - 4}{9} \le \frac{3 + z}{7}$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 63:
$63 \cdot \frac{2z - 4}{9} \le 63 \cdot \frac{3 + z}{7}$
$7(2z - 4) \le 9(3 + z)$
Раскроем скобки:
$14z - 28 \le 27 + 9z$
Перенесем слагаемые с $z$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$14z - 9z \le 27 + 28$
$5z \le 55$
Разделим обе части на 5:
$z \le \frac{55}{5}$
$z \le 11$
Ответ: $z \le 11$ (или $z \in (-\infty; 11]$).

83 a) $12 - y < \frac{5(y - 1)}{6};$

б) $\frac{3(4x + 3)}{5} > 4x - 3;$

в) $\frac{3z + 6}{5} - \frac{3z - 8}{4} \ge 2;$

г) $10z - \frac{9(3z + 7)}{4} > 33;$

д) $\frac{1 + 8x}{11} \ge 10 - \frac{3x + 2}{2};$

е) $\frac{y - 4}{3} - 2 < \frac{y}{2};$

а) $12 - y < \frac{5(y - 1)}{6}$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (12 - y) < 6 \cdot \frac{5(y - 1)}{6}$

$72 - 6y < 5(y - 1)$

Раскроем скобки:

$72 - 6y < 5y - 5$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а свободные члены — в левую, изменив их знаки на противоположные:

$72 + 5 < 5y + 6y$

$77 < 11y$

Разделим обе части неравенства на 11 (знак неравенства не меняется, так как 11 > 0):

$\frac{77}{11} < y$

$7 < y$

Или, что то же самое, $y > 7$.

Ответ: $y \in (7; +\infty)$

б) $\frac{3(4x + 3)}{5} > 4x - 3$

Умножим обе части неравенства на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$5 \cdot \frac{3(4x + 3)}{5} > 5 \cdot (4x - 3)$

$3(4x + 3) > 20x - 15$

Раскроем скобки в левой части:

$12x + 9 > 20x - 15$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$9 + 15 > 20x - 12x$

$24 > 8x$

Разделим обе части на 8:

$3 > x$

Или $x < 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$

в) $\frac{3z + 6}{5} - \frac{3z - 8}{4} \geq 2$

Найдем наименьший общий знаменатель дробей. НОК(5, 4) = 20. Умножим обе части неравенства на 20:

$20 \cdot \frac{3z + 6}{5} - 20 \cdot \frac{3z - 8}{4} \geq 20 \cdot 2$

$4(3z + 6) - 5(3z - 8) \geq 40$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью:

$12z + 24 - 15z + 40 \geq 40$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(12z - 15z) + (24 + 40) \geq 40$

$-3z + 64 \geq 40$

Перенесем 64 в правую часть:

$-3z \geq 40 - 64$

$-3z \geq -24$

Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$z \leq \frac{-24}{-3}$

$z \leq 8$

Ответ: $z \in (-\infty; 8]$

г) $10z - \frac{9(3z + 7)}{4} > 33$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4 \cdot 10z - 4 \cdot \frac{9(3z + 7)}{4} > 4 \cdot 33$

$40z - 9(3z + 7) > 132$

Раскроем скобки:

$40z - 27z - 63 > 132$

Приведем подобные слагаемые:

$13z - 63 > 132$

Перенесем -63 в правую часть:

$13z > 132 + 63$

$13z > 195$

Разделим обе части на 13:

$z > \frac{195}{13}$

$z > 15$

Ответ: $z \in (15; +\infty)$

д) $\frac{1 + 8x}{11} \geq 10 - \frac{3x + 2}{2}$

Наименьший общий знаменатель дробей — НОК(11, 2) = 22. Умножим обе части неравенства на 22:

$22 \cdot \frac{1 + 8x}{11} \geq 22 \cdot 10 - 22 \cdot \frac{3x + 2}{2}$

$2(1 + 8x) \geq 220 - 11(3x + 2)$

Раскроем скобки:

$2 + 16x \geq 220 - 33x - 22$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$2 + 16x \geq 198 - 33x$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а свободные члены вправо:

$16x + 33x \geq 198 - 2$

$49x \geq 196$

Разделим обе части на 49:

$x \geq \frac{196}{49}$

$x \geq 4$

Ответ: $x \in [4; +\infty)$

е) $\frac{y - 4}{3} - 2 < \frac{y}{2}$

Наименьший общий знаменатель — НОК(3, 2) = 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot \frac{y - 4}{3} - 6 \cdot 2 < 6 \cdot \frac{y}{2}$

$2(y - 4) - 12 < 3y$

Раскроем скобки:

$2y - 8 - 12 < 3y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2y - 20 < 3y$

Перенесем $2y$ в правую часть:

$-20 < 3y - 2y$

$-20 < y$

Или $y > -20$.

Ответ: $y \in (-20; +\infty)$

84 Определите, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения и при каких — отрицательные значения:

а) $y = 3x - 2$;

б) $y = -4x - 1$;

в) $y = x + 5$;

г) $y = -0.5x$.

В каждом случае проиллюстрируйте своё решение с помощью графиков функции.

Для определения, при каких значениях аргумента $x$ функция принимает положительные или отрицательные значения, необходимо решить неравенства $y > 0$ и $y < 0$ соответственно. Результаты проиллюстрируем графиками.

а) $y = 3x - 2$

1. Найдем, при каких $x$ функция положительна ($y > 0$):

$3x - 2 > 0$

$3x > 2$

$x > \frac{2}{3}$

2. Найдем, при каких $x$ функция отрицательна ($y < 0$):

$3x - 2 < 0$

$3x < 2$

$x < \frac{2}{3}$

3. Для построения графика найдем точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью OY (при $x=0$): $y = 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
• Пересечение с осью OX (при $y=0$): $0 = 3x - 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. Точка $(\frac{2}{3}, 0)$.

График функции:

На графике зеленая часть прямой (где $y>0$) находится при $x > \frac{2}{3}$, а красная часть (где $y<0$) — при $x < \frac{2}{3}$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x > \frac{2}{3}$, отрицательные значения при $x < \frac{2}{3}$.

б) $y = -4x - 1$

1. Найдем, при каких $x$ функция положительна ($y > 0$):

$-4x - 1 > 0$

$-4x > 1$

При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < -\frac{1}{4}$

2. Найдем, при каких $x$ функция отрицательна ($y < 0$):

$-4x - 1 < 0$

$-4x < 1$

$x > -\frac{1}{4}$

3. Для построения графика найдем точки пересечения с осями:

• Пересечение с осью OY (при $x=0$): $y = -4 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• Пересечение с осью OX (при $y=0$): $0 = -4x - 1 \Rightarrow 4x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$. Точка $(-\frac{1}{4}, 0)$.

График функции:

На графике зеленая часть прямой (где $y>0$) находится при $x < -\frac{1}{4}$, а красная часть (где $y<0$) — при $x > -\frac{1}{4}$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x < -\frac{1}{4}$, отрицательные значения при $x > -\frac{1}{4}$.

в) $y = x + 5$

1. Найдем, при каких $x$ функция положительна ($y > 0$):

$x + 5 > 0$

$x > -5$

2. Найдем, при каких $x$ функция отрицательна ($y < 0$):

$x + 5 < 0$

$x < -5$

3. Для построения графика найдем точки пересечения с осями:

• Пересечение с осью OY (при $x=0$): $y = 0 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
• Пересечение с осью OX (при $y=0$): $0 = x + 5 \Rightarrow x = -5$. Точка $(-5, 0)$.

График функции:

На графике зеленая часть прямой (где $y>0$) находится при $x > -5$, а красная часть (где $y<0$) — при $x < -5$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x > -5$, отрицательные значения при $x < -5$.

г) $y = -0,5x$

1. Найдем, при каких $x$ функция положительна ($y > 0$):

$-0,5x > 0$

При делении на -0,5 знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 0$

2. Найдем, при каких $x$ функция отрицательна ($y < 0$):

$-0,5x < 0$

$x > 0$

3. Эта функция — прямая пропорциональность, ее график проходит через начало координат. Найдем еще одну точку для построения:

• Пересечение с осями: точка $(0, 0)$.
• Возьмем $x=2$: $y = -0,5 \cdot 2 = -1$. Точка $(2, -1)$.

График функции:

На графике зеленая часть прямой (где $y>0$) находится при $x < 0$, а красная часть (где $y<0$) — при $x > 0$. При $x=0$ функция равна нулю.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x < 0$, отрицательные значения при $x > 0$.

85 Определите, при каких значениях аргумента график функции $y = f(x)$ расположен выше графика функции $y = g(x)$, а при каких — ниже (выполните задание двумя способами: решив неравенство и построив в одной системе координат графики данных функций):

а) $f(x) = 2x - 1$, $g(x) = -2x + 1$;

б) $f(x) = 0,5x$, $g(x) = 3 - x$.

86 При каких значениях x имеет смысл выражение:

a) $ \sqrt{2x}; $

б) $ \sqrt{-x}; $

в) $ \sqrt{3x - 10}; $

г) $ \sqrt{\frac{2x - 6}{3}}; $

д) $ \frac{2}{\sqrt{1 - x}}; $

е) $ \sqrt{4 - 10x}? $

а) Выражение $\sqrt{2x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
$2x \ge 0$
Разделим обе части неравенства на 2:
$x \ge 0$
Это соответствует промежутку $[0, +\infty)$.
Ответ: $x \ge 0$.

б) Выражение $\sqrt{-x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
$-x \ge 0$
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x \le 0$
Это соответствует промежутку $(-\infty, 0]$.
Ответ: $x \le 0$.

в) Выражение $\sqrt{3x - 10}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
$3x - 10 \ge 0$
Перенесем -10 в правую часть, изменив знак:
$3x \ge 10$
Разделим обе части на 3:
$x \ge \frac{10}{3}$
Это соответствует промежутку $[\frac{10}{3}, +\infty)$.
Ответ: $x \ge \frac{10}{3}$.

г) Выражение $\sqrt{\frac{2x - 6}{3}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
$\frac{2x - 6}{3} \ge 0$
Так как знаменатель 3 - это положительное число, знак дроби зависит только от знака числителя. Следовательно, числитель должен быть неотрицательным.
$2x - 6 \ge 0$
Перенесем -6 в правую часть:
$2x \ge 6$
Разделим обе части на 2:
$x \ge 3$
Это соответствует промежутку $[3, +\infty)$.
Ответ: $x \ge 3$.

д) Выражение $\frac{2}{\sqrt{1 - x}}$ имеет смысл, когда выполняются два условия: во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($1 - x \ge 0$), и, во-вторых, знаменатель не должен быть равен нулю ($\sqrt{1 - x} \ne 0$). Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
$1 - x > 0$
Перенесем $x$ в правую часть:
$1 > x$
Это соответствует промежутку $(-\infty, 1)$.
Ответ: $x < 1$.

е) Выражение $\sqrt{4 - 10x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
$4 - 10x \ge 0$
Перенесем $-10x$ в правую часть:
$4 \ge 10x$
Разделим обе части на 10:
$\frac{4}{10} \ge x$
Сократим дробь:
$x \le \frac{2}{5}$
Это соответствует промежутку $(-\infty, \frac{2}{5}]$.
Ответ: $x \le \frac{2}{5}$.

87 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Решите задачу, составив по её условию неравенство:

a) В регионе X фермер перевозит картофель в мешках по 40 кг в грузовике, масса которого без груза равна 4500 кг. Какое количество мешков может находиться в грузовике, чтобы он мог переехать через ручей по мосту, выдерживающему груз в 7 т?

б) В гостинице города Z за номер с телефоном надо доплачивать 15 р. в сутки плюс 30 к. за каждую минуту разговора. Турист останавливается в гостинице на 7 дней. Сколько минут он может говорить по телефону, если он планирует заплатить за переговоры не больше 120 р.?

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (88–89)

а) Для решения задачи составим неравенство. Пусть $x$ — искомое количество мешков с картофелем.
Масса одного мешка равна 40 кг. Следовательно, общая масса картофеля в $x$ мешках составляет $40x$ кг.
Масса грузовика без груза — 4500 кг.
Общая масса груженого грузовика равна сумме массы грузовика и массы всего картофеля: $4500 + 40x$ кг.
Мост выдерживает груз в 7 тонн. Необходимо перевести все величины в единую систему измерения, например, в килограммы.
$7 \text{ т} = 7 \times 1000 \text{ кг} = 7000 \text{ кг}$.
Чтобы грузовик мог безопасно переехать через мост, его общая масса не должна превышать максимальную нагрузку на мост. Составим неравенство:
$4500 + 40x \le 7000$
Теперь решим это неравенство относительно $x$:
$40x \le 7000 - 4500$
$40x \le 2500$
$x \le \frac{2500}{40}$
$x \le 62.5$
Поскольку количество мешков ($x$) может быть только целым числом, а также оно не должно превышать 62.5, то максимальное возможное количество мешков равно 62.
Ответ: 62 мешка.

б) Для решения задачи составим неравенство. Пусть $t$ — количество минут, которое турист может говорить по телефону.
Турист останавливается в гостинице на 7 дней. Ежедневная плата за номер с телефоном составляет 15 рублей. Значит, за 7 дней плата за наличие телефона составит:
$15 \text{ р./сутки} \times 7 \text{ суток} = 105$ рублей.
Стоимость одной минуты разговора — 30 копеек. Переведем эту стоимость в рубли для удобства расчетов:
$30 \text{ коп.} = 0.3$ рубля.
Тогда стоимость $t$ минут разговора составит $0.3t$ рублей.
Общая стоимость услуг связи складывается из платы за наличие телефона и платы за разговоры: $105 + 0.3t$ рублей.
По условию, турист планирует потратить на переговоры не больше 120 рублей. Это значит, что общая стоимость должна быть меньше или равна 120 рублям. Составим неравенство:
$105 + 0.3t \le 120$
Решим это неравенство относительно $t$:
$0.3t \le 120 - 105$
$0.3t \le 15$
$t \le \frac{15}{0.3}$
$t \le 50$
Таким образом, турист может говорить по телефону не более 50 минут.
Ответ: 50 минут.