Страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

60 Оцените площадь и периметр параллелограмма, если известны границы длин его сторон и одной из высот, выраженные в сантиметрах (рис. 1.16):

$10 < a < 11$, $5 < b < 6$, $3 < h < 4$.

Рис. 1.16

Площадь

Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ – сторона, а $h$ – высота, проведенная к ней.

Используем данные из условия задачи:
$10 < a < 11$
$3 < h < 4$

Для нахождения границ площади перемножим соответствующие части неравенств, так как все значения в них положительны:
$10 \cdot 3 < a \cdot h < 11 \cdot 4$
$30 < S < 44$

Следовательно, площадь параллелограмма находится в пределах от 30 до 44 см².

Ответ: $30 < S < 44$.

Периметр

Периметр параллелограмма $P$ равен удвоенной сумме его смежных сторон: $P = 2(a + b)$.

Используем неравенства для сторон $a$ и $b$:
$10 < a < 11$
$5 < b < 6$

Сначала оценим сумму $a + b$ путем сложения неравенств:
$10 + 5 < a + b < 11 + 6$
$15 < a + b < 17$

Теперь умножим полученное двойное неравенство на 2, чтобы оценить периметр:
$2 \cdot 15 < 2(a + b) < 2 \cdot 17$
$30 < P < 34$

Следовательно, периметр параллелограмма находится в пределах от 30 до 34 см. Необходимо также проверить, может ли существовать такой параллелограмм. Из рисунка видно, что высота $h$ является катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой $b$. Условие существования такого треугольника ($h \le b$) выполняется, так как максимальное возможное значение $h$ (стремится к 4) меньше минимального возможного значения $b$ (стремится к 5).

Ответ: $30 < P < 34$.

61. Оцените площадь и периметр прямоугольника со сторонами $a$ см и $b$ см, указав их границы с одним знаком после запятой, если:

а) $1,6 \le a \le 1,7$; $3,2 \le b \le 3,3$;

б) $2,5 \le a \le 2,6$; $1,7 \le b \le 1,8$.

а)

Даны стороны прямоугольника $a$ и $b$ (в см): $1,6 \le a \le 1,7$ и $3,2 \le b \le 3,3$.

Оценка площади S
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Для оценки площади необходимо перемножить соответствующие границы неравенств для сторон $a$ и $b$, так как все значения положительны.
Нижняя граница: $S_{min} = 1,6 \cdot 3,2 = 5,12$ см².
Верхняя граница: $S_{max} = 1,7 \cdot 3,3 = 5,61$ см².
Таким образом, получаем двойное неравенство: $5,12 \le S \le 5,61$.
По условию, границы нужно указать с одним знаком после запятой. Чтобы оценка была верной, мы должны расширить полученный интервал до ближайших внешних границ с одним десятичным знаком.
Нижнюю границу $5,12$ округляем в меньшую сторону до $5,1$.
Верхнюю границу $5,61$ округляем в большую сторону до $5,7$.
Следовательно, итоговая оценка для площади: $5,1 \le S \le 5,7$.

Оценка периметра P
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Сначала оценим сумму сторон $a + b$, сложив почленно неравенства:
$1,6 + 3,2 \le a + b \le 1,7 + 3,3$
$4,8 \le a + b \le 5,0$
Теперь умножим все части неравенства на 2, чтобы найти границы для периметра:
$2 \cdot 4,8 \le 2(a + b) \le 2 \cdot 5,0$
$9,6 \le P \le 10,0$
Эти границы уже представлены с одним знаком после запятой.

Ответ: оценка площади $5,1 \le S \le 5,7$ см²; оценка периметра $9,6 \le P \le 10,0$ см.

б)

Даны стороны прямоугольника $a$ и $b$ (в см): $2,5 \le a \le 2,6$ и $1,7 \le b \le 1,8$.

Оценка площади S
Площадь $S = a \cdot b$. Перемножим соответствующие границы неравенств:
Нижняя граница: $S_{min} = 2,5 \cdot 1,7 = 4,25$ см².
Верхняя граница: $S_{max} = 2,6 \cdot 1,8 = 4,68$ см².
Таким образом, имеем: $4,25 \le S \le 4,68$.
Приводим границы к одному знаку после запятой, расширяя интервал, чтобы он гарантированно содержал все возможные значения площади.
Нижнюю границу $4,25$ округляем в меньшую сторону до $4,2$.
Верхнюю границу $4,68$ округляем в большую сторону до $4,7$.
Следовательно, итоговая оценка для площади: $4,2 \le S \le 4,7$.

Оценка периметра P
Периметр $P = 2(a + b)$. Сначала сложим почленно неравенства для сторон:
$2,5 + 1,7 \le a + b \le 2,6 + 1,8$
$4,2 \le a + b \le 4,4$
Теперь умножим все части неравенства на 2:
$2 \cdot 4,2 \le 2(a + b) \le 2 \cdot 4,4$
$8,4 \le P \le 8,8$
Эти границы уже представлены с одним знаком после запятой.

Ответ: оценка площади $4,2 \le S \le 4,7$ см²; оценка периметра $8,4 \le P \le 8,8$ см.

ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ (62—63)

62 Николай договорился о встрече в метро в 10 часов. На дорогу от дома до метро у Николая уходит от 10 до 15 мин, а на поездку в метро до места встречи — от 18 до 20 мин. Успеет ли он к назначенному времени, если выйдет из дома:

а) в 9 ч 20 мин;

б) в 9 ч 40 мин;

в) в 9 ч 30 мин?

Для решения этой задачи сначала определим минимальное и максимальное общее время, которое Николай может потратить на дорогу. Встреча назначена на 10 часов 00 минут.

1. Минимальное время в пути складывается из минимального времени на дорогу до метро и минимального времени на поездку в метро:
$10 \text{ мин} + 18 \text{ мин} = 28 \text{ минут}$

2. Максимальное время в пути складывается из максимального времени на дорогу до метро и максимального времени на поездку в метро:
$15 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 35 \text{ минут}$

Таким образом, вся дорога занимает у Николая от 28 до 35 минут. Теперь рассмотрим каждый вариант времени выхода из дома.

а) в 9 ч 20 мин

Если Николай выйдет в 9:20, нужно к этому времени прибавить минимальное и максимальное время в пути, чтобы определить промежуток времени его прибытия.

Самое раннее время прибытия: 9 ч 20 мин + 28 мин = 9 ч 48 мин.

Самое позднее время прибытия: 9 ч 20 мин + 35 мин = 9 ч 55 мин.

Поскольку даже самое позднее время прибытия (9:55) раньше назначенного времени (10:00), Николай гарантированно успеет на встречу.

Ответ: да, успеет.

б) в 9 ч 40 мин

Если Николай выйдет в 9:40, рассчитаем возможный интервал его прибытия.

Самое раннее время прибытия: 9 ч 40 мин + 28 мин = 10 ч 08 мин.

Самое позднее время прибытия: 9 ч 40 мин + 35 мин = 10 ч 15 мин.

Поскольку даже самое раннее время прибытия (10:08) позже назначенного времени (10:00), Николай в любом случае опоздает.

Ответ: нет, не успеет.

в) в 9 ч 30 мин

Если Николай выйдет в 9:30, определим промежуток времени его прибытия.

Самое раннее время прибытия: 9 ч 30 мин + 28 мин = 9 ч 58 мин.

Самое позднее время прибытия: 9 ч 30 мин + 35 мин = 10 ч 05 мин.

В этом случае существует вероятность, что Николай успеет (если прибудет в 9:58), но также есть вероятность, что он опоздает (если прибудет в 10:05). Поскольку нет гарантии прибытия к назначенному времени, он рискует опоздать.

Ответ: может не успеть, так как его прибытие возможно в промежутке с 9:58 до 10:05, что включает в себя время после 10:00.

63 Трёхтомную энциклопедию и десятитомное собрание сочинений хотят разместить на книжной полке длиной 80 см. Возможно ли это, если толщина тома энциклопедии ($a$ см) и толщина тома собрания сочинений ($b$ см) находятся в границах $6,5 < a < 7,4; 2,9 < b < 4,3$?

Чтобы ответить на вопрос, нужно оценить суммарную толщину всех книг и сравнить её с длиной книжной полки.

Пусть $a$ — толщина одного тома энциклопедии, а $b$ — толщина одного тома собрания сочинений. По условию задачи даны следующие неравенства:

$6,5 < a < 7,4$ (в см)

$2,9 < b < 4,3$ (в см)

Сначала оценим общую толщину трёх томов энциклопедии. Обозначим её $L_Э$. Для этого умножим все части неравенства для $a$ на 3:

$3 \cdot 6,5 < 3a < 3 \cdot 7,4$

$19,5 < L_Э < 22,2$ (в см)

Далее оценим общую толщину десяти томов собрания сочинений. Обозначим её $L_С$. Для этого умножим все части неравенства для $b$ на 10:

$10 \cdot 2,9 < 10b < 10 \cdot 4,3$

$29 < L_С < 43$ (в см)

Теперь найдем общую толщину всех книг $L_{общ}$, которая равна сумме $L_Э + L_С$. Для этого сложим соответствующие части полученных неравенств:

$19,5 + 29 < L_Э + L_С < 22,2 + 43$

$48,5 < L_{общ} < 65,2$ (в см)

Таким образом, мы получили, что общая толщина всех книг находится в диапазоне от 48,5 см до 65,2 см. Длина книжной полки составляет 80 см. Поскольку даже максимальная возможная толщина всех книг ($65,2$ см) меньше длины полки ($80$ см), то все книги гарантированно поместятся на ней.

Ответ: да, это возможно.

64 Можно ли сравнить $a$ и $d$, если известно, что:

а) $a = b$, $b < c$, $c \le d$;

б) $a \ge c$, $b = c$, $d \le b$;

в) $a < b$, $c \ge b$, $c \ge d$;

г) $a \le b$, $c > b$, $c \le d$?

РАССУЖДАЕМ (65–66) Не пользуясь калькулятором, расположите в порядке возрастания данные числа.

а)

Даны соотношения: $a = b$, $b < c$, $c \le d$. Из первого равенства $a = b$ и второго неравенства $b < c$ следует, что $a < c$. Это свойство подстановки. Теперь у нас есть два неравенства: $a < c$ и $c \le d$. По свойству транзитивности неравенств, если одно число меньше второго, а второе меньше или равно третьему, то первое число строго меньше третьего. Таким образом, мы можем составить цепочку неравенств: $a < c \le d$. Из этой цепочки следует, что $a < d$. Следовательно, сравнить $a$ и $d$ можно.

Ответ: да, можно. $a < d$.

б)

Даны соотношения: $a \ge c$, $b = c$, $d \le b$. Используя равенство $b = c$, мы можем заменить $c$ на $b$ в первом неравенстве, получая $a \ge b$. Теперь у нас есть два неравенства, которые можно объединить: $a \ge b$ и $d \le b$. Это можно записать в виде единой цепочки неравенств: $d \le b \le a$. По свойству транзитивности, из этой цепочки следует, что $d \le a$, или, что эквивалентно, $a \ge d$. Следовательно, сравнить $a$ и $d$ можно.

Ответ: да, можно. $a \ge d$.

в)

Даны неравенства: $a < b$, $c \ge b$, $c \ge d$. Из первых двух неравенств ($a < b$ и $b \le c$) следует, что $a < c$. Также нам известно, что $d \le c$. В данном случае мы знаем, что и $a$, и $d$ меньше или равны $c$, но это не дает нам информации для их взаимного сравнения. Чтобы доказать это, приведем контрпримеры.

Пусть $b = 5$, $c = 10$. Тогда условия $a < b$ и $c \ge b$ выполнены (например, для $a=4$). Условие $c \ge d$ означает $10 \ge d$.

• Пример 1: Пусть $d = 3$. Тогда $a = 4$ и $d = 3$. В этом случае $a > d$. Все начальные условия ($4 < 5$, $10 \ge 5$, $10 \ge 3$) соблюдены.
• Пример 2: Пусть $d = 4$. Тогда $a = 4$ и $d = 4$. В этом случае $a = d$. Все начальные условия ($4 < 5$, $10 \ge 5$, $10 \ge 4$) соблюдены.
• Пример 3: Пусть $d = 9$. Тогда $a = 4$ и $d = 9$. В этом случае $a < d$. Все начальные условия ($4 < 5$, $10 \ge 5$, $10 \ge 9$) соблюдены.

Поскольку возможны все три варианта ($a > d$, $a = d$, $a < d$), однозначно сравнить $a$ и $d$ на основе данных условий нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

г)

Даны неравенства: $a \le b$, $c > b$, $c \le d$. Из $a \le b$ и $b < c$ (переписанное $c > b$) следует, что $a < c$. Неравенство становится строгим, потому что одно из исходных неравенств ($b < c$) строгое. Теперь у нас есть $a < c$ и $c \le d$. Объединяя их, получаем цепочку неравенств: $a \le b < c \le d$. По свойству транзитивности, из этой цепочки следует, что $a < d$. Следовательно, сравнить $a$ и $d$ можно.

Ответ: да, можно. $a < d$.

65 a) $\frac{2}{3}$; $\sqrt{0,5}$; 0,66; 0,666; $\sqrt{0,3}$;

б) $\frac{1}{6}$; $\sqrt{0,02}$; $\sqrt{0,046}$; 0,16; 0,166.

а)

Чтобы сравнить данные числа $\frac{2}{3}; \sqrt{0,5}; 0,66; 0,666; \sqrt{0,3}$, удобнее всего сравнить их квадраты. Так как все числа положительные, то чем больше число, тем больше его квадрат. Это означает, что порядок, установленный для квадратов чисел, будет таким же, как и для самих чисел.

Вычислим квадраты каждого числа:

1. $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} = 0,444... = 0,(4)$

2. $(\sqrt{0,5})^2 = 0,5$

3. $(0,66)^2 = 0,4356$

4. $(0,666)^2 = 0,443556$

5. $(\sqrt{0,3})^2 = 0,3$

Теперь сравним полученные значения: $0,(4)$; $0,5$; $0,4356$; $0,443556$; $0,3$.

Расположим их в порядке возрастания:

$0,3 < 0,4356 < 0,443556 < 0,(4) < 0,5$

Это значит, что и исходные числа в том же порядке будут расположены по возрастанию:

$\sqrt{0,3} < 0,66 < 0,666 < \frac{2}{3} < \sqrt{0,5}$

Ответ: $\sqrt{0,3}; 0,66; 0,666; \frac{2}{3}; \sqrt{0,5}$.

б)

Чтобы сравнить числа $\frac{1}{6}; \sqrt{0,02}; \sqrt{0,046}; 0,16; 0,166$, применим тот же метод — возведение в квадрат. Все числа положительные, поэтому порядок между ними и порядок между их квадратами совпадают.

Вычислим квадраты каждого числа:

1. $(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36} = 0,02777... = 0,02(7)$

2. $(\sqrt{0,02})^2 = 0,02$

3. $(\sqrt{0,046})^2 = 0,046$

4. $(0,16)^2 = 0,0256$

5. $(0,166)^2 = 0,027556$

Теперь сравним полученные квадраты: $0,02(7)$; $0,02$; $0,046$; $0,0256$; $0,027556$.

Расположим их в порядке возрастания, внимательно сравнивая знаки после запятой:

$0,02 < 0,0256 < 0,027556 < 0,02(7) < 0,046$

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так:

$\sqrt{0,02} < 0,16 < 0,166 < \frac{1}{6} < \sqrt{0,046}$

Ответ: $\sqrt{0,02}; 0,16; 0,166; \frac{1}{6}; \sqrt{0,046}$.

66 a) $\frac{1}{\sqrt{2}}$; $2\sqrt{\frac{1}{20}}$; $\frac{1}{3}\sqrt{3}$; $\frac{1}{6}$;

б) $\frac{\sqrt{7}}{7}$; $\frac{7}{\sqrt{7}}$; $2\sqrt{2}$; $2\sqrt{0.1}$.

а)

Упростим каждое из представленных выражений. Цель упрощения — избавиться от иррациональности в знаменателе и упростить подкоренные выражения.

1. Для `$ \frac{1}{\sqrt{2}} $`, умножим числитель и знаменатель на `$ \sqrt{2} $`, чтобы рационализировать знаменатель:

`$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $`

2. Для `$ 2\sqrt{\frac{1}{20}} $`, сначала упростим выражение под корнем:

`$ 2\sqrt{\frac{1}{20}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{20}} $`

Вынесем множитель из-под знака корня в знаменателе: `$ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $`.

`$ \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} $`

Теперь рационализируем знаменатель:

`$ \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $`

3. Выражение `$ \frac{1}{3}\sqrt{3} $` можно записать как `$ \frac{\sqrt{3}}{3} $`. Оно уже упрощено, так как знаменатель рационален.

4. Дробь `$ \frac{1}{6} $` является рациональным числом и не требует упрощения.

Ответ: `$ \frac{\sqrt{2}}{2} $; `$ \frac{\sqrt{5}}{5} $; `$ \frac{\sqrt{3}}{3} $; `$ \frac{1}{6} $`.

б)

Упростим каждое из представленных выражений.

1. Выражение `$ \frac{\sqrt{7}}{7} $` уже находится в своей простейшей форме, так как знаменатель рационален и корень не упрощается.

2. Для `$ \frac{7}{\sqrt{7}} $`, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на него числитель и знаменатель:

`$ \frac{7}{\sqrt{7}} = \frac{7 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{7} = \sqrt{7} $`

3. Выражение `$ 2\sqrt{2} $` уже упрощено. Подкоренное выражение не содержит полных квадратов. Его можно записать как `$ \sqrt{8} $`.

4. Для `$ 2\sqrt{0.1} $`, преобразуем десятичную дробь в обыкновенную `$ 0.1 = \frac{1}{10} $`:

`$ 2\sqrt{0.1} = 2\sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} $`

Рационализируем знаменатель:

`$ \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5} $`

Ответ: `$ \frac{\sqrt{7}}{7} $; `$ \sqrt{7} $; `$ 2\sqrt{2} $; `$ \frac{\sqrt{10}}{5} $`.