Страница 17 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

34 Исследуем Установите, относительно каких арифметических операций замкнуто данное множество:

а) $2^1; 2^2; 2^3; ...; 2^n; ...$, где $n$ — натуральное число;

б) множество чётных чисел;

в) множество нечётных чисел;

г) множество чисел вида $a + b\sqrt{2}$, где $a$ и $b$ — целые числа.

а)Данное множество состоит из чисел вида $2^n$, где $n$ — натуральное число. Обозначим это множество как $M_a = \{2^1, 2^2, 2^3, \dots\}$. Возьмем два произвольных элемента из этого множества: $x = 2^k$ и $y = 2^m$, где $k, m \in \mathbb{N}$.

Сложение: $x + y = 2^k + 2^m$. В общем случае эта сумма не является степенью двойки. Например, при $k=1, m=2$ получаем $2^1 + 2^2 = 2 + 4 = 6$. Число 6 не принадлежит множеству $M_a$. Следовательно, множество не замкнуто относительно сложения.

Вычитание: $x - y = 2^k - 2^m$. Результат не всегда принадлежит множеству. Например, при $k=3, m=1$ получаем $2^3 - 2^1 = 8 - 2 = 6$. Число 6 не принадлежит множеству $M_a$. Следовательно, множество не замкнуто относительно вычитания.

Умножение: $x \cdot y = 2^k \cdot 2^m = 2^{k+m}$. Поскольку $k$ и $m$ — натуральные числа, их сумма $k+m$ также является натуральным числом. Значит, результат $2^{k+m}$ всегда принадлежит множеству $M_a$. Следовательно, множество замкнуто относительно умножения.

Деление: $x / y = 2^k / 2^m = 2^{k-m}$. Чтобы результат принадлежал множеству, показатель степени $k-m$ должен быть натуральным числом. Это не всегда так. Например, если $k=2, m=3$, то $k-m = -1$, а $2^{-1} = 1/2$ не принадлежит множеству $M_a$. Следовательно, множество не замкнуто относительно деления.

Ответ: данное множество замкнуто относительно операции умножения.

б)Данное множество — множество чётных чисел. Будем рассматривать четные целые числа, которые можно представить в виде $2k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Возьмем два произвольных четных числа: $x = 2k$ и $y = 2m$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

Сложение: $x + y = 2k + 2m = 2(k+m)$. Так как сумма целых чисел $k+m$ является целым числом, результат $2(k+m)$ является чётным числом. Множество замкнуто относительно сложения.

Вычитание: $x - y = 2k - 2m = 2(k-m)$. Так как разность целых чисел $k-m$ является целым числом, результат $2(k-m)$ является чётным числом. Множество замкнуто относительно вычитания.

Умножение: $x \cdot y = (2k) \cdot (2m) = 4km = 2(2km)$. Так как произведение целых чисел $2km$ является целым числом, результат $2(2km)$ является чётным числом. Множество замкнуто относительно умножения.

Деление: $x / y = (2k) / (2m) = k/m$. Результат не всегда является четным числом. Например, $6 / 2 = 3$ (нечетное число), или $2 / 6 = 1/3$ (не является целым числом). Множество не замкнуто относительно деления.

Ответ: множество чётных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.

в)Данное множество — множество нечётных чисел. Будем рассматривать нечетные целые числа, которые можно представить в виде $2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$. Возьмем два произвольных нечетных числа: $x = 2k+1$ и $y = 2m+1$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

Сложение: $x + y = (2k+1) + (2m+1) = 2k + 2m + 2 = 2(k+m+1)$. Результат является чётным числом, так как представляет собой произведение двойки и целого числа. Следовательно, он не принадлежит множеству нечетных чисел. Множество не замкнуто относительно сложения.

Вычитание: $x - y = (2k+1) - (2m+1) = 2k - 2m = 2(k-m)$. Результат является чётным числом. Следовательно, он не принадлежит множеству нечетных чисел. Множество не замкнуто относительно вычитания.

Умножение: $x \cdot y = (2k+1)(2m+1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km+k+m)+1$. Результат имеет форму $2p+1$, где $p=2km+k+m$ — целое число, то есть является нечетным числом. Множество замкнуто относительно умножения.

Деление: $x / y = (2k+1) / (2m+1)$. Результат не всегда является нечетным числом. Например, $3 / 5 = 0.6$, что не является целым числом. Множество не замкнуто относительно деления.

Ответ: множество нечётных чисел замкнуто относительно умножения.

г)Данное множество — множество чисел вида $a + b\sqrt{2}$, где $a$ и $b$ — целые числа. Возьмем два произвольных элемента из этого множества: $x = a_1 + b_1\sqrt{2}$ и $y = a_2 + b_2\sqrt{2}$, где $a_1, b_1, a_2, b_2 \in \mathbb{Z}$.

Сложение: $x + y = (a_1 + b_1\sqrt{2}) + (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{2}$. Пусть $a = a_1 + a_2$ и $b = b_1 + b_2$. Так как сумма целых чисел — целое число, то $a, b \in \mathbb{Z}$. Результат принадлежит данному множеству. Множество замкнуто относительно сложения.

Вычитание: $x - y = (a_1 + b_1\sqrt{2}) - (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)\sqrt{2}$. Пусть $a = a_1 - a_2$ и $b = b_1 - b_2$. Так как разность целых чисел — целое число, то $a, b \in \mathbb{Z}$. Результат принадлежит данному множеству. Множество замкнуто относительно вычитания.

Умножение: $x \cdot y = (a_1 + b_1\sqrt{2})(a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{2}$. Пусть $a = a_1a_2 + 2b_1b_2$ и $b = a_1b_2 + b_1a_2$. Так как целые числа замкнуты относительно сложения и умножения, то $a, b \in \mathbb{Z}$. Результат принадлежит данному множеству. Множество замкнуто относительно умножения.

Деление: $x / y = \frac{a_1 + b_1\sqrt{2}}{a_2 + b_2\sqrt{2}}$. Результат не всегда принадлежит множеству. Например, возьмем $x = 1 + 0\sqrt{2}$ и $y = 2 + 0\sqrt{2}$. Оба числа принадлежат множеству. Их частное $x/y = 1/2$. Это число нельзя представить в виде $a+b\sqrt{2}$ с целыми $a$ и $b$. Множество не замкнуто относительно деления.

Ответ: данное множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.