Страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Верно ли утверждение:

a) всякое натуральное число является целым;

б) всякое целое число является натуральным;

в) всякое целое число является рациональным;

г) всякое иррациональное число является действительным;

д) всякое действительное число является рациональным?

а) всякое натуральное число является целым;

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним определения натуральных и целых чисел. Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете: $1, 2, 3, 4, ...$. Множество натуральных чисел обозначается как $\mathbb{N}$. Целые числа — это натуральные числа, им противоположные числа и ноль: $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$. Множество целых чисел обозначается как $\mathbb{Z}$. Сравнивая эти два множества, мы видим, что все элементы множества натуральных чисел ($\mathbb{N}$) также содержатся в множестве целых чисел ($\mathbb{Z}$). Например, число 5 является и натуральным, и целым. Таким образом, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел ($\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$). Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

б) всякое целое число является натуральным;

Рассмотрим множества целых ($\mathbb{Z}$) и натуральных ($\mathbb{N}$) чисел. Как мы установили ранее, $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ и $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$. Утверждение гласит, что всякое целое число является натуральным. Это означало бы, что множество $\mathbb{Z}$ является подмножеством множества $\mathbb{N}$. Однако это не так. Например, число -2 является целым, но не является натуральным. Число 0 также является целым, но не натуральным. Поскольку существуют целые числа, которые не являются натуральными, данное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

в) всякое целое число является рациональным;

Разберемся, что такое рациональные числа. Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Множество рациональных чисел обозначается как $\mathbb{Q}$. Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $z = \frac{z}{1}$. В этой записи числитель $z$ является целым числом, а знаменатель 1 — натуральным. Это полностью соответствует определению рационального числа. Например, $7 = \frac{7}{1}$, $-15 = \frac{-15}{1}$, $0 = \frac{0}{1}$. Таким образом, любое целое число является рациональным, и множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$).

Ответ: верно.

г) всякое иррациональное число является действительным;

Рассмотрим определения иррациональных и действительных чисел. Действительные (или вещественные) числа ($\mathbb{R}$) — это множество, объединяющее в себе рациональные числа ($\mathbb{Q}$) и иррациональные числа ($\mathbb{I}$). Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, например, $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$. Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. По самому определению, множество действительных чисел состоит из двух непересекающихся подмножеств: рациональных и иррациональных чисел. Следовательно, любое иррациональное число по определению является действительным числом. Множество иррациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$).

Ответ: верно.

д) всякое действительное число является рациональным?

Проверим утверждение, что всякое действительное число является рациональным. Как было указано в предыдущем пункте, множество действительных чисел $\mathbb{R}$ является объединением множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ и множества иррациональных чисел $\mathbb{I}$, то есть $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$. Это означает, что существуют действительные числа, которые не являются рациональными — это иррациональные числа. Например, число $\pi$ является действительным, но не является рациональным. То же самое можно сказать про $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ и многие другие. Поскольку существуют действительные числа, не являющиеся рациональными, данное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

3 Приведите пример числа, которое:

а) является рациональным, но не является целым;

б) является целым, но не является натуральным;

в) является действительным, но не является рациональным;

г) является действительным, но не является иррациональным.

РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ (4–8)

а) является рациональным, но не является целым;
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Целые числа (например, $2$, $-5$, $0$) являются подмножеством рациональных чисел (их можно представить как $\frac{2}{1}$, $\frac{-5}{1}$, $\frac{0}{1}$). Чтобы число было рациональным, но не целым, оно должно быть представлено в виде дроби, которая не сводится к целому числу. Примером может служить любая конечная или периодическая десятичная дробь. Например, число $0.5$ можно представить как дробь $\frac{1}{2}$. Это рациональное число, но оно не является целым.
Ответ: $0.5$

б) является целым, но не является натуральным;
Натуральные числа — это числа, используемые для счета: $1, 2, 3, \ldots$. Множество целых чисел включает в себя натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и число ноль: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$. Таким образом, любое целое отрицательное число или ноль будут являться целыми, но не натуральными числами. Например, число $-5$ является целым, но не натуральным.
Ответ: $-5$

в) является действительным, но не является рациональным;
Действительные числа — это все числа, которые можно отметить на числовой прямой. Они делятся на две большие непересекающиеся группы: рациональные и иррациональные. Если действительное число не является рациональным, то по определению оно является иррациональным. Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$ (где $m$ — целое, а $n$ — натуральное), и они представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Классическими примерами иррациональных чисел являются $\sqrt{2}$ и число $\pi$.
Ответ: $\sqrt{2}$

г) является действительным, но не является иррациональным.
Как уже упоминалось, множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел. Если действительное число не является иррациональным, значит, оно по определению является рациональным. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы привести пример любого рационального числа. Это может быть любое целое число, любая обыкновенная дробь или конечная/периодическая десятичная дробь. Например, число $7$ является действительным и рациональным (то есть не иррациональным).
Ответ: $7$

Прочитайте следующие утверждения и определите, верны ли они:

а) $-10 \in Z$, $-10 \in Q$, $\sqrt{2} + \sqrt{3} \in R$;

б) $\frac{\pi}{2} \in Z$, $\frac{\pi}{2} \notin Q$, $\frac{\pi}{2} \in R$;

в) $-\frac{1}{7} \in Z$, $-\frac{1}{7} \notin R$, $-\frac{1}{7} \in Q$.

Для определения верности утверждений необходимо вспомнить определения числовых множеств:

• $ \mathbb{Z} $ — множество целых чисел. Это натуральные числа (1, 2, 3, ...), противоположные им числа (-1, -2, -3, ...) и ноль.
• $ \mathbb{Q} $ — множество рациональных чисел. Это числа, которые можно представить в виде дроби $ \frac{p}{q} $, где $ p \in \mathbb{Z} $, а $ q \in \mathbb{N} $. К ним относятся все целые числа и конечные или бесконечные периодические десятичные дроби.
• $ \mathbb{R} $ — множество действительных (вещественных) чисел. Оно включает в себя все рациональные и иррациональные числа (числа, представляемые бесконечными непериодическими десятичными дробями, например, $ \pi, \sqrt{2} $).

а) Разберем последовательно все три утверждения:

1. Утверждение $ -10 \in \mathbb{Z} $. Число -10 является отрицательным целым числом, поэтому оно принадлежит множеству целых чисел $ \mathbb{Z} $. Утверждение верно.

2. Утверждение $ -10 \in \mathbb{Q} $. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, $ -10 = \frac{-10}{1} $. Следовательно, число -10 принадлежит множеству рациональных чисел $ \mathbb{Q} $. Утверждение верно.

3. Утверждение $ \sqrt{2} + \sqrt{3} \in \mathbb{R} $. Числа $ \sqrt{2} $ и $ \sqrt{3} $ являются иррациональными, а все иррациональные числа входят в множество действительных чисел $ \mathbb{R} $. Сумма двух действительных чисел также всегда является действительным числом. Следовательно, $ \sqrt{2} + \sqrt{3} $ принадлежит множеству $ \mathbb{R} $. Утверждение верно.

Ответ: все три утверждения в этом пункте верны.

б) Разберем последовательно все три утверждения:

1. Утверждение $ \frac{\pi}{2} \in \mathbb{Z} $. Число $ \pi \approx 3.14159... $, следовательно $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57079... $. Это число не является целым. Утверждение неверно.

2. Утверждение $ \frac{\pi}{2} \in \mathbb{Q} $. Число $ \pi $ является иррациональным. При делении иррационального числа на ненулевое рациональное число (в данном случае на 2) результат также будет иррациональным. Таким образом, $ \frac{\pi}{2} $ не принадлежит множеству рациональных чисел $ \mathbb{Q} $. Утверждение неверно.

3. Утверждение $ \frac{\pi}{2} \in \mathbb{R} $. Множество действительных чисел $ \mathbb{R} $ включает в себя все иррациональные числа. Поскольку $ \frac{\pi}{2} $ — иррациональное число, оно принадлежит множеству действительных чисел. Утверждение верно.

Ответ: первые два утверждения неверны, третье — верно.

в) Разберем последовательно все три утверждения:

1. Утверждение $ -\frac{1}{7} \in \mathbb{Z} $. Число $ -\frac{1}{7} $ является дробным, а не целым. Множество целых чисел $ \mathbb{Z} $ не содержит нецелых дробей. Утверждение неверно.

2. Утверждение $ -\frac{1}{7} \notin \mathbb{R} $. Это утверждение означает, что $ -\frac{1}{7} $ не является действительным числом. Однако, $ -\frac{1}{7} $ — это рациональное число, а все рациональные числа являются действительными. Значит, $ -\frac{1}{7} \in \mathbb{R} $. Следовательно, исходное утверждение о непринадлежности неверно.

3. Утверждение $ -\frac{1}{7} \in \mathbb{Q} $. По определению, любое число, которое можно записать в виде дроби $ \frac{p}{q} $ с целым числителем и натуральным знаменателем, является рациональным. Число $ -\frac{1}{7} $ соответствует этому определению. Утверждение верно.

Ответ: первое и второе утверждения неверны, третье — верно.

Запишите на символическом языке следующие утверждения:

а) $2$ — целое число;

б) $-100$ — рациональное число;

в) $0,3$ — действительное число;

г) $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ — иррациональное число;

д) $\frac{2}{9}$ не является целым числом;

е) $-3$ не является натуральным числом.

а) Утверждение "2 — целое число" означает, что число 2 принадлежит множеству целых чисел. Множество целых чисел принято обозначать латинской буквой $Z$. Знак принадлежности элемента множеству — это $\in$. Следовательно, на символическом языке данное утверждение можно записать так:
Ответ: $2 \in Z$

б) Утверждение "-100 — рациональное число" означает, что число -100 принадлежит множеству рациональных чисел. Множество рациональных чисел обозначается буквой $Q$. Таким образом, символическая запись утверждения выглядит следующим образом:
Ответ: $-100 \in Q$

в) Утверждение "0,3 — действительное число" означает, что число 0,3 принадлежит множеству действительных (или вещественных) чисел. Это множество обозначается буквой $R$. Соответственно, символическая запись будет:
Ответ: $0,3 \in R$

г) Утверждение "$\sqrt{2} + \sqrt{5}$ — иррациональное число" означает, что данное число принадлежит множеству иррациональных чисел. Множество иррациональных чисел обозначают буквой $I$. Запись на символическом языке будет такой:
Ответ: $\sqrt{2} + \sqrt{5} \in I$

д) Утверждение "$\frac{2}{9}$ не является целым числом" означает, что число $\frac{2}{9}$ не принадлежит множеству целых чисел ($Z$). Для обозначения того, что элемент не принадлежит множеству, используется перечеркнутый знак принадлежности $\notin$. Таким образом, получаем запись:
Ответ: $\frac{2}{9} \notin Z$

е) Утверждение "-3 не является натуральным числом" означает, что число -3 не принадлежит множеству натуральных чисел. Множество натуральных чисел (числа, используемые при счете: 1, 2, 3, ...) обозначается буквой $N$. Используя знак $\notin$, получаем символическую запись:
Ответ: $-3 \notin N$

б) $-100$ — рациональное число;

в) $0,3$ — действительное число;

г) $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ — иррациональное число;

д) $\frac{2}{9}$ не является целым числом;

е) $-3$ не является натуральным числом.

6 Множество натуральных чисел $N$ включается в множество целых чисел $Z$. На языке символов это записывается так: $N \subset Z$ — и читается: «Всякое натуральное число является целым». Схематически соотношение между множествами $N$ и $Z$ показано на рисунке 1.2. Прочитайте и изобразите с помощью схемы соотношение:

$Z \subset Q, Q \subset R, Z \subset R,$

$N \subset Z \subset Q, N \subset Z \subset Q \subset R.$

Рис. 1.2

$Z \subset Q$ Соотношение читается: «Множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества рациональных чисел $Q$». Это означает, что любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1 (например, $5 = \frac{5}{1}$). Схематически это изображается с помощью диаграммы Эйлера-Венна, где область, обозначающая множество $Z$, полностью расположена внутри области, обозначающей множество $Q$. Ответ: Всякое целое число является рациональным.

$Q \subset R$ Соотношение читается: «Множество рациональных чисел $Q$ является подмножеством множества действительных чисел $R$». Это означает, что любое рациональное число является действительным. Множество действительных чисел $R$ состоит из всех рациональных и всех иррациональных чисел. Схематически это изображается в виде области $Q$, полностью расположенной внутри области $R$. Ответ: Всякое рациональное число является действительным.

$Z \subset R$ Соотношение читается: «Множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества действительных чисел $R$». Это означает, что любое целое число является действительным. Это свойство (транзитивность) следует из того, что целые числа являются подмножеством рациональных ($Z \subset Q$), а рациональные — подмножеством действительных ($Q \subset R$). Схематически это изображается в виде области $Z$, полностью расположенной внутри области $R$. Ответ: Всякое целое число является действительным.

$N \subset Z \subset Q$ Это соотношение читается: «Множество натуральных чисел $N$ является подмножеством множества целых чисел $Z$, которое, в свою очередь, является подмножеством множества рациональных чисел $Q$». Это значит, что любое натуральное число — это целое число, а любое целое — рациональное. Схематически это изображается как последовательность вложенных областей: область $N$ находится внутри области $Z$, а область $Z$ находится внутри области $Q$. Ответ: Всякое натуральное число является целым, а всякое целое число является рациональным.

$N \subset Z \subset Q \subset R$ Это соотношение читается: «Множество натуральных чисел $N$ является подмножеством множества целых чисел $Z$, которое является подмножеством множества рациональных чисел $Q$, которое, в свою очередь, является подмножеством множества действительных чисел $R$». Данная запись описывает полную иерархию основных числовых множеств. Схематически это изображается как последовательность четырех вложенных областей: $N$ внутри $Z$, $Z$ внутри $Q$, и $Q$ внутри $R$. Ответ: Всякое натуральное число является целым, всякое целое — рациональным, а всякое рациональное — действительным.

7 Изобразите на координатной прямой заданный промежуток и укажите какое-нибудь принадлежащее ему рациональное число; иррациональное число. Ответ запишите с помощью знака $\in$ (например, $2,3 \in [1; 4]$):

а) $[1; 4];

б) $(-2; 0);

в) $[-3; +\infty).

а) Промежуток $[1; 4]$ представляет собой числовой отрезок. На координатной прямой это множество точек, расположенных между 1 и 4, включая сами точки 1 и 4. Граничные точки отрезка изображаются закрашенными (сплошными) кружками.

В качестве примера рационального числа, принадлежащего этому отрезку, можно взять любое целое или дробное число между 1 и 4. Например, целое число 2 или дробное число 2,5.

В качестве иррационального числа можно взять, например, число $\sqrt{3}$, так как $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, а $1 < 3 < 4$, следовательно $1 < \sqrt{3} < 2$, что входит в заданный промежуток. Другой пример — число $\pi$ (пи), которое приблизительно равно $3,14159...$ и также находится в пределах от 1 до 4.

Ответ: $2 \in [1; 4]$; $\pi \in [1; 4]$.

б) Промежуток $(-2; 0)$ — это открытый числовой интервал. На координатной прямой он изображается множеством точек между -2 и 0. Сами точки -2 и 0 в интервал не входят, поэтому они изображаются выколотыми (пустыми) кружками.

Пример рационального числа из этого интервала — любое дробное или целое число, которое больше -2 и меньше 0. Например, целое число -1 или дробное число -0,5.

Пример иррационального числа — число $-\sqrt{2}$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $-\sqrt{2} \approx -1,414$. Это значение удовлетворяет неравенству $-2 < -1,414 < 0$, следовательно, оно принадлежит данному интервалу.

Ответ: $-1 \in (-2; 0)$; $-\sqrt{2} \in (-2; 0)$.

в) Промежуток $[-3; +\infty)$ — это числовой луч. На координатной прямой он начинается в точке -3 и продолжается вправо до бесконечности. Точка -3 включена в промежуток, поэтому она изображается закрашенным кружком.

Рациональным числом из этого промежутка может быть любое целое или дробное число, которое больше или равно -3. Например, -3, 0 или 100.

Иррациональным числом может быть любое иррациональное число, большее или равное -3. Например, $\sqrt{2}$ ($\approx 1,414$) или $\sqrt{17}$ ($\approx 4,123$). Оба эти числа больше -3.

Ответ: $0 \in [-3; +\infty)$; $\sqrt{2} \in [-3; +\infty)$.