Страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

8 Найдите объединение и пересечение множеств $A$ и $B$, если:

a) $A = [-6; 2]$, $B = [0; 4];$

б) $A = [-6; 2)$, $B = [2; 4];$

в) $A = [-6; 2]$, $B = (0; 2).$

■ Рис. 1.3

Образец. Пусть $A = [3; 8]$, $B = [5; 10]$. Тогда $A\cup B = [3; 10]$, $A\cap B = [5; 8]$ (рис. 1.3).

а) Даны множества $A = [-6; 2]$ и $B = [0; 4]$.

Объединение множеств ($A \cup B$) — это множество, которое включает все элементы из A и B. Для нахождения объединения промежутков нужно взять наименьшее начало ($-6$) и наибольший конец ($4$). Таким образом, объединение — это все числа от $-6$ до $4$ включительно.
$A \cup B = [-6; 4]$.

Пересечение множеств ($A \cap B$) — это множество, которое включает только общие для A и B элементы. Нужно найти общую часть промежутков $[-6; 2]$ и $[0; 4]$. Общими будут числа, которые одновременно больше или равны $0$ и меньше или равны $2$.
$A \cap B = [0; 2]$.

Ответ: $A \cup B = [-6; 4]$; $A \cap B = [0; 2]$.

б) Даны множества $A = [-6; 2)$ и $B = [2; 4]$.

Объединение множеств ($A \cup B$). Множество A включает числа вплоть до $2$, не включая саму двойку. Множество B начинается с числа $2$, включая его. Вместе они образуют непрерывный промежуток от $-6$ до $4$, так как точка $2$ "закрывается" множеством B.
$A \cup B = [-6; 4]$.

Пересечение множеств ($A \cap B$). Ищем общие элементы. Число $2$ является единственной возможной общей точкой. Однако, $2$ не принадлежит множеству A (так как скобка круглая), хотя и принадлежит множеству B. Поскольку элемент для пересечения должен принадлежать обоим множествам, общих элементов нет. Пересечение пусто.
$A \cap B = \emptyset$.

Ответ: $A \cup B = [-6; 4]$; $A \cap B = \emptyset$.

в) Даны множества $A = [-6; 2]$ и $B = (0; 2)$.

Объединение множеств ($A \cup B$). Множество B, интервал $(0; 2)$, целиком содержится внутри множества A, отрезка $[-6; 2]$ (то есть $B \subset A$). В этом случае объединение совпадает с бо́льшим множеством, то есть с A.
$A \cup B = [-6; 2]$.

Пересечение множеств ($A \cap B$). Поскольку множество B является подмножеством A, то их общими элементами будут все элементы множества B. Пересечение множества с его подмножеством равно этому подмножеству.
$A \cap B = (0; 2)$.

Ответ: $A \cup B = [-6; 2]$; $A \cap B = (0; 2)$.

Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют данному условию, и запишите его на символическом языке:

a) $ |x - 4| \le 1 $

б) $ |x - 4| \ge 1 $

в) $ |x + 5| < 2 $

г) $ |x + 5| > 2 $

д) $ |x| \le 6 $

е) $ |x| \ge 3 $

Образец.

1) $ |x - 6| \le 2 $ — расстояние от точки $x$ до точки 6 не превосходит 2 (рис. 1.4, а);

2) $ |x - 6| > 2 $ — расстояние от точки $x$ до точки 6 больше 2 (рис. 1.4, б).

a) 2 2

4 6 8

$[4; 8]$

б) 4 6 8

$(-\infty; 4) \cup (8; +\infty)$

Рис. 1.4

а) $|x - 4| \le 1$

Геометрически это неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки $4$ на координатной прямой не превосходит $1$. Это эквивалентно двойному неравенству:

$-1 \le x - 4 \le 1$

Прибавим $4$ ко всем частям неравенства:

$-1 + 4 \le x \le 1 + 4$

$3 \le x \le 5$

На координатной прямой это множество представляет собой отрезок, заключенный между точками $3$ и $5$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки $3$ и $5$ включаются в множество (изображаются закрашенными точками).

Ответ: $x \in [3; 5]$

б) $|x - 4| \ge 1$

Геометрически это неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки $4$ на координатной прямой не меньше $1$. Это эквивалентно совокупности двух неравенств:

$x - 4 \ge 1$ или $x - 4 \le -1$

Решаем каждое неравенство:

$x \ge 5$ или $x \le 3$

На координатной прямой это множество представляет собой объединение двух лучей: один направлен от $3$ влево, а другой — от $5$ вправо. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки $3$ и $5$ включаются в множество (изображаются закрашенными точками).

Ответ: $x \in (-\infty; 3] \cup [5; +\infty)$

в) $|x + 5| < 2$

Перепишем неравенство в виде $|x - (-5)| < 2$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-5$ меньше $2$. Это эквивалентно двойному неравенству:

$-2 < x + 5 < 2$

Вычтем $5$ из всех частей неравенства:

$-2 - 5 < x < 2 - 5$

$-7 < x < -3$

На координатной прямой это множество представляет собой интервал между точками $-7$ и $-3$. Так как неравенство строгое ($<$), точки $-7$ и $-3$ не включаются в множество (изображаются выколотыми точками).

Ответ: $x \in (-7; -3)$

г) $|x + 5| > 2$

Перепишем неравенство в виде $|x - (-5)| > 2$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-5$ больше $2$. Это эквивалентно совокупности двух неравенств:

$x + 5 > 2$ или $x + 5 < -2$

Решаем каждое неравенство:

$x > -3$ или $x < -7$

На координатной прямой это множество представляет собой объединение двух открытых лучей: один направлен от $-7$ влево, а другой — от $-3$ вправо. Так как неравенство строгое ($>$), точки $-7$ и $-3$ не включаются в множество (изображаются выколотыми точками).

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (-3; +\infty)$

д) $|x| \le 6$

Это неравенство можно записать как $|x - 0| \le 6$. Геометрически оно означает, что расстояние от точки $x$ до начала координат (точки $0$) не превосходит $6$. Это эквивалентно двойному неравенству:

$-6 \le x \le 6$

На координатной прямой это множество представляет собой отрезок от $-6$ до $6$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки $-6$ и $6$ включаются в множество (изображаются закрашенными точками).

Ответ: $x \in [-6; 6]$

е) $|x| \ge 3$

Это неравенство можно записать как $|x - 0| \ge 3$. Геометрически оно означает, что расстояние от точки $x$ до начала координат (точки $0$) не меньше $3$. Это эквивалентно совокупности двух неравенств:

$x \ge 3$ или $x \le -3$

На координатной прямой это множество представляет собой объединение двух лучей: один направлен от $-3$ влево, а другой — от $3$ вправо. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки $-3$ и $3$ включаются в множество (изображаются закрашенными точками).

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$

10 Используя циркуль и линейку, отметьте на координатной прямой числа: $\sqrt{2}$; $-\sqrt{2}$; $\sqrt{2} - 1$; $1$; $1 - \sqrt{2}$; $-2\sqrt{2}$. Запишите данные числа в порядке возрастания.

Используя циркуль и линейку, отметьте на координатной прямой числа: $\sqrt{2}$; $-\sqrt{2}$; $\sqrt{2}-1$; $1$; $1-\sqrt{2}$; $-2\sqrt{2}$.
Для построения этих чисел на координатной прямой сначала необходимо построить отрезок длиной $\sqrt{2}$.
1. С помощью линейки начертим координатную прямую. Отметим на ней точку начала отсчета $O$ (число 0) и единичный отрезок, отметив точку $A$ (число 1).
2. В точке $A$ (координата 1) восстановим перпендикуляр к оси и отложим на нем единичный отрезок. Конец этого отрезка назовем точкой $B$.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAB$. Его катеты $OA$ и $AB$ равны 1. По теореме Пифагора, длина гипотенузы $OB$ равна: $OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
4. С помощью циркуля измерим длину отрезка $OB$. Это будет наш радиус, равный $\sqrt{2}$.
5. Поставим ножку циркуля в точку $O$ (начало координат) и этим радиусом ($\sqrt{2}$) сделаем две засечки на координатной прямой. Точка справа от нуля будет соответствовать числу $\sqrt{2}$, а точка слева от нуля — числу $-\sqrt{2}$.
6. Теперь отметим остальные числа:
- Число 1: уже отмечено (точка $A$).
- Число $\sqrt{2}-1$: От точки $\sqrt{2}$ отложим единичный отрезок (равный $OA$) влево. Получим искомую точку.
- Число $1-\sqrt{2}$: Поставим ножку циркуля в точку 1 (точка $A$) и радиусом $\sqrt{2}$ (равным $OB$) сделаем засечку на координатной прямой слева от точки 1.
- Число $-2\sqrt{2}$: Поставим ножку циркуля в точку $-\sqrt{2}$ и радиусом $\sqrt{2}$ (равным $OB$) сделаем засечку на координатной прямой слева от точки $-\sqrt{2}$.
Таким образом, все указанные числа отмечены на координатной прямой.
Ответ: Точки на координатной прямой строятся в соответствии с описанным выше алгоритмом, где ключевым шагом является построение отрезка длиной $\sqrt{2}$ как гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными 1.

Запишите данные числа в порядке возрастания.
Нам нужно упорядочить числа: $\sqrt{2}$; $-\sqrt{2}$; $\sqrt{2}-1$; $1$; $1-\sqrt{2}$; $-2\sqrt{2}$.
Для этого сравним их значения.
1. Разделим числа на отрицательные и положительные.
Отрицательные числа: $-\sqrt{2}$, $1-\sqrt{2}$ (так как $1 < \sqrt{2}$), $-2\sqrt{2}$.
Положительные числа: $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}-1$ (так как $\sqrt{2} > 1$), $1$.
2. Сравним отрицательные числа.
- Сравним $2\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$. Так как $2>1$, то $2\sqrt{2} > \sqrt{2}$, а значит $-2\sqrt{2} < -\sqrt{2}$.
- Сравним $-\sqrt{2}$ и $1-\sqrt{2}$. Прибавим к обеим частям $\sqrt{2}$: получим 0 и 1. Так как $0 < 1$, то $-\sqrt{2} < 1-\sqrt{2}$.
- Таким образом, для отрицательных чисел имеем: $-2\sqrt{2} < -\sqrt{2} < 1-\sqrt{2}$.
3. Сравним положительные числа.
- Сравним $\sqrt{2}-1$ и $1$. Прибавим к обеим частям 1: получим $\sqrt{2}$ и 2. Так как $\sqrt{2} < \sqrt{4} = 2$, то $\sqrt{2}-1 < 1$.
- Сравним 1 и $\sqrt{2}$. Так как $1 = \sqrt{1}$, а $1 < 2$, то $\sqrt{1} < \sqrt{2}$, значит $1 < \sqrt{2}$.
- Таким образом, для положительных чисел имеем: $\sqrt{2}-1 < 1 < \sqrt{2}$.
4. Объединим результаты. Так как любое отрицательное число меньше любого положительного, получаем итоговый порядок:
$-2\sqrt{2} < -\sqrt{2} < 1-\sqrt{2} < \sqrt{2}-1 < 1 < \sqrt{2}$.
Запишем числа через точку с запятой в порядке возрастания.
Ответ: $-2\sqrt{2}$; $-\sqrt{2}$; $1-\sqrt{2}$; $\sqrt{2}-1$; $1$; $\sqrt{2}$.

РАССУЖДАЕМ (11–12)

11 На координатной прямой (рис. 1.5) точками $A$ и $B$ отмечены два из следующих чисел:

$\frac{1}{3}$; $\sqrt{3}$; $\sqrt{5}$; $\sqrt{10}$.

Какое число соответствует точке $A$ и какое — точке $B$?

Рис. 1.5

Рис. 1.6

Для того чтобы определить, какие числа соответствуют точкам А и В на координатной прямой, необходимо оценить значения предложенных чисел и соотнести их с положением точек.

Даны числа: $ \frac{1}{3} $; $ \sqrt{3} $; $ \sqrt{5} $; $ \sqrt{10} $.

Оценим приближенные значения этих чисел, определив, между какими целыми числами они находятся:

• $ \frac{1}{3} \approx 0,333... $. Это число находится между 0 и 1.
• Для $ \sqrt{3} $: так как $ 1^2 = 1 $ и $ 2^2 = 4 $, то $ 1 < 3 < 4 $. Следовательно, $ \sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4} $, что означает $ 1 < \sqrt{3} < 2 $.
• Для $ \sqrt{5} $: так как $ 2^2 = 4 $ и $ 3^2 = 9 $, то $ 4 < 5 < 9 $. Следовательно, $ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} $, что означает $ 2 < \sqrt{5} < 3 $.
• Для $ \sqrt{10} $: так как $ 3^2 = 9 $ и $ 4^2 = 16 $, то $ 9 < 10 < 16 $. Следовательно, $ \sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16} $, что означает $ 3 < \sqrt{10} < 4 $.

Теперь рассмотрим положение точек на координатной прямой (рис. 1.5).

Какое число соответствует точке А

Точка А расположена на координатной прямой между целыми числами 1 и 2. Из предложенных чисел только $ \sqrt{3} $ находится в этом интервале. Таким образом, точке А соответствует число $ \sqrt{3} $.

Ответ: $ \sqrt{3} $.

какое — точке В

Точка В расположена на координатной прямой между целыми числами 3 и 4. Из предложенных чисел только $ \sqrt{10} $ находится в этом интервале. Таким образом, точке В соответствует число $ \sqrt{10} $.

Ответ: $ \sqrt{10} $.

$1/3$; $\sqrt{3}$; $\sqrt{5}$; $\sqrt{10}$.

Какое число соответствует точке A и какое — точке B?

Рис. 1.6

12 На координатной прямой (рис. 1.6) точками C и D отмечены два из следующих чисел: $\frac{\pi}{2}$; $\frac{2\pi}{3}$; $\frac{3}{2}$; $\frac{2}{3}$.

Какое число соответствует точке C и какое — точке D?

Какое число соответствует точке С и какое — точке D?

Чтобы найти соответствие между точками и числами, необходимо вычислить приближенные значения предложенных чисел и сравнить их с расположением точек C и D на координатной прямой.

Данные числа: $\frac{\pi}{2}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{2}{3}$.

1. Оценим значение каждого числа. Для чисел, содержащих $\pi$, будем использовать приближение $\pi \approx 3.14$.

• $\frac{2}{3} = 0.666...$
• $\frac{3}{2} = 1.5$
• $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$
• $\frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \times 3.14}{3} = \frac{6.28}{3} \approx 2.09$

2. Рассмотрим положение точек на координатной прямой, изображенной на рисунке 1.6:

• Точка C находится на числовой оси между 0 и 1.
• Точка D находится на числовой оси между 2 и 3.

3. Теперь сопоставим вычисленные значения с положением точек:

• Среди данных чисел только $\frac{2}{3}$ находится в промежутке $(0, 1)$. Следовательно, точка C соответствует числу $\frac{2}{3}$.
• Среди данных чисел только $\frac{2\pi}{3}$ находится в промежутке $(2, 3)$. Следовательно, точка D соответствует числу $\frac{2\pi}{3}$.

Числа $\frac{3}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$ находятся в промежутке $(1, 2)$, но в этом интервале отмеченных точек нет.

Ответ: Точке C соответствует число $\frac{2}{3}$, а точке D — число $\frac{2\pi}{3}$.