Страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

13 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Выберите верные утверждения:

а) каждому рациональному числу соответствует точка координатной прямой;

б) каждой точке координатной прямой соответствует рациональное число;

в) каждому иррациональному числу соответствует точка координатной прямой;

г) каждой точке координатной прямой соответствует иррациональное число;

д) каждому действительному числу соответствует точка координатной прямой;

е) каждой точке координатной прямой соответствует действительное число.

а) каждому рациональному числу соответствует точка координатной прямой;

Рациональные числа (обозначаются как $\mathbb{Q}$) — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Например, $5 = \frac{5}{1}$, $0.5 = \frac{1}{2}$, $-3 = \frac{-3}{1}$. Рациональные числа являются подмножеством действительных чисел ($\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$). Поскольку каждому действительному числу соответствует точка на координатной прямой, то и каждому рациональному числу, как его части, тоже соответствует точка на этой прямой. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

б) каждой точке координатной прямой соответствует рациональное число;

Это утверждение неверно. Оно означает, что на координатной прямой нет точек, которые бы соответствовали другим числам, кроме рациональных. Однако существуют иррациональные числа, которым также соответствуют точки на координатной прямой. Например, число $\sqrt{2}$ является иррациональным, и ему соответствует точка на прямой, которую можно построить (как диагональ квадрата со стороной 1). Точка, соответствующая числу $\pi \approx 3.14159...$, также находится на координатной прямой, но $\pi$ не является рациональным числом. Следовательно, не каждой точке соответствует рациональное число.
Ответ: Неверно.

в) каждому иррациональному числу соответствует точка координатной прямой;

Иррациональные числа (обозначаются как $\mathbb{I}$) — это действительные числа, которые не являются рациональными. Примеры: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$. Иррациональные числа также являются подмножеством действительных чисел ($\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$). По аналогии с пунктом а), раз каждому действительному числу соответствует точка на прямой, то и каждому иррациональному числу соответствует своя единственная точка. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

г) каждой точке координатной прямой соответствует иррациональное число;

Это утверждение неверно по той же причине, что и утверждение б). На координатной прямой существуют точки, которые соответствуют рациональным числам. Например, точка, соответствующая числу 2 (которое является рациональным), или точка, соответствующая началу координат (числу $0$). Следовательно, не каждой точке соответствует иррациональное число.
Ответ: Неверно.

д) каждому действительному числу соответствует точка координатной прямой;

Множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Основное свойство координатной прямой (или числовой оси) заключается в том, что она является геометрической моделью множества действительных чисел. Это означает, что для любого действительного числа, будь то $5$, $-\frac{1}{3}$ или $\pi$, найдется единственная соответствующая ему точка на прямой. Это одна из частей аксиомы о взаимно-однозначном соответствии между действительными числами и точками на прямой.
Ответ: Верно.

е) каждой точке координатной прямой соответствует действительное число.

Это вторая часть аксиомы о взаимно-однозначном соответствии. Она утверждает, что какую бы точку на координатной прямой мы ни взяли, ей обязательно будет соответствовать некоторое действительное число. На прямой нет "пустых" мест или "проколов", которые не были бы заняты каким-либо действительным числом. Это свойство называется непрерывностью числовой прямой.
Ответ: Верно.

Таким образом, верными являются утверждения: а), в), д), е).

АНАЛИЗИРУЕМ (14–17)

14 Решите уравнение и укажите, рациональными или иррациональными числами являются его корни. Найдите приближённые значения иррациональных корней с одним знаком после запятой:

а) $25x^2 = 4$;

б) $6x^2 = 3$;

в) $0,6x^2 = 4,8$;

г) $1,5x^2 = 0,96$.

а) $25x^2 = 4$

Чтобы решить уравнение, сначала выразим $x^2$. Для этого разделим обе части уравнения на 25:

$x^2 = \frac{4}{25}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$ (где $a > 0$) имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.

$x = \pm\sqrt{\frac{4}{25}}$

$x = \pm\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$

$x = \pm\frac{2}{5}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{2}{5} = 0,4$ и $x_2 = -\frac{2}{5} = -0,4$.

Оба корня являются рациональными числами, так как они могут быть представлены в виде дроби $\frac{p}{q}$ (где $p$ — целое, $q$ — натуральное число) или в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: $x_1=0,4, x_2=-0,4$. Корни являются рациональными числами.

б) $6x^2 = 3$

Разделим обе части уравнения на 6:

$x^2 = \frac{3}{6}$

$x^2 = \frac{1}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

Так как $\sqrt{2}$ — это иррациональное число (бесконечная непериодическая десятичная дробь), то и корни $x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ являются иррациональными числами.

Найдем их приближенные значения с одним знаком после запятой. Используем приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1,414...$

$x \approx \pm\frac{1}{1,414...} \approx \pm0,707...$

Округляя до одного знака после запятой, получаем: $x_1 \approx 0,7$ и $x_2 \approx -0,7$.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}, x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Корни являются иррациональными числами. Приближенные значения: $x_1 \approx 0,7, x_2 \approx -0,7$.

в) $0,6x^2 = 4,8$

Разделим обе части уравнения на 0,6:

$x^2 = \frac{4,8}{0,6}$

$x^2 = \frac{48}{6}$

$x^2 = 8$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{8}$

Упростим корень: $x = \pm\sqrt{4 \cdot 2} = \pm2\sqrt{2}$.

Так как $\sqrt{2}$ — это иррациональное число, то и корни $x_1 = 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -2\sqrt{2}$ являются иррациональными.

Найдем их приближенные значения с одним знаком после запятой, используя $\sqrt{2} \approx 1,414...$

$x \approx \pm2 \cdot 1,414... \approx \pm2,828...$

Округляя до одного знака после запятой, получаем: $x_1 \approx 2,8$ и $x_2 \approx -2,8$.

Ответ: $x_1 = 2\sqrt{2}, x_2 = -2\sqrt{2}$. Корни являются иррациональными числами. Приближенные значения: $x_1 \approx 2,8, x_2 \approx -2,8$.

г) $1,5x^2 = 0,96$

Разделим обе части уравнения на 1,5:

$x^2 = \frac{0,96}{1,5}$

Чтобы избавиться от дробей в числителе и знаменателе, умножим их на 100:

$x^2 = \frac{96}{150}$

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 6:

$x^2 = \frac{96 \div 6}{150 \div 6} = \frac{16}{25}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{16}{25}}$

$x = \pm\frac{4}{5}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{4}{5} = 0,8$ и $x_2 = -\frac{4}{5} = -0,8$.

Оба корня являются рациональными числами.

Ответ: $x_1=0,8, x_2=-0,8$. Корни являются рациональными числами.

15 В окружность с центром $O$ и радиусом, равным $1$, вписан треугольник (рис. $1.7$, а, б). Для каждой стороны треугольника выясните, рациональным или иррациональным числом выражается её длина.

а) На рисунке изображен треугольник $ABC$ с вершинами на окружности, центр окружности $O$ лежит на стороне $AC$. Угол при вершине $A$ равен $45^\circ$.

б) На рисунке изображен треугольник $ABC$ с вершинами на окружности, центр окружности $O$ лежит на стороне $AC$. Угол при вершине $A$ равен $60^\circ$.

Рис. $1.7$

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов, согласно которой для любого треугольника, вписанного в окружность, отношение длины стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности: $\frac{a}{\sin A} = 2R$. В нашем случае радиус $R=1$, поэтому формула упрощается до $a = 2 \sin A$.

а)

Рассмотрим треугольник ABC, изображенный на рис. 1.7, а.
1. Сторона AC. Так как эта сторона проходит через центр окружности O, она является диаметром. Её длина равна $AC = 2R = 2 \cdot 1 = 2$. Число 2 является рациональным.
2. Стороны AB и BC. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым, поэтому $\angle ABC = 90^\circ$. Из условия нам дан $\angle BAC = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Теперь найдем длины сторон AB и BC по теореме синусов:
Длина стороны BC (противолежит углу $45^\circ$): $BC = 2R \sin(\angle BAC) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.
Длина стороны AB (противолежит углу $45^\circ$): $AB = 2R \sin(\angle BCA) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.
Ответ: Длина стороны AC равна 2 (рациональное число), длины сторон AB и BC равны $\sqrt{2}$ (иррациональные числа).

б)

Рассмотрим треугольник ABC, изображенный на рис. 1.7, б.
1. Сторона AC. Аналогично предыдущему случаю, сторона AC является диаметром, и её длина $AC = 2R = 2 \cdot 1 = 2$. Число 2 является рациональным.
2. Стороны AB и BC. Угол $\angle ABC$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Из условия нам дан $\angle BAC = 60^\circ$. Тогда третий угол $\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Найдем длины сторон AB и BC по теореме синусов:
Длина стороны BC (противолежит углу $60^\circ$): $BC = 2R \sin(\angle BAC) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Число $\sqrt{3}$ является иррациональным.
Длина стороны AB (противолежит углу $30^\circ$): $AB = 2R \sin(\angle BCA) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. Число 1 является рациональным.
Ответ: Длины сторон AC и AB равны 2 и 1 соответственно (рациональные числа), а длина стороны BC равна $\sqrt{3}$ (иррациональное число).

16 Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2);$

б) $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 2);$

в) $(1 - 2\sqrt{5})^2;$

г) $2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot 3 \cdot \sqrt{15};$

д) $3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12};$

е) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{6\sqrt{10}}.$

а) Для упрощения выражения $(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2)$ используем формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
Подставим наши значения, где $a = \sqrt{7}$ и $b = 2$:
$(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2) = (\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3$.
Число 3 является целым, а любое целое число является рациональным.
Ответ: рациональное число.

б) Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 2)$:
$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 2) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 1\sqrt{3} + (-1)(-2) = (\sqrt{3})^2 - 3\sqrt{3} + 2 = 3 - 3\sqrt{3} + 2 = 5 - 3\sqrt{3}$.
Так как $\sqrt{3}$ является иррациональным числом, то и разность $5 - 3\sqrt{3}$ также является иррациональным числом.
Ответ: иррациональное число.

в) Для раскрытия выражения $(1 - 2\sqrt{5})^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Подставим наши значения, где $a = 1$ и $b = 2\sqrt{5}$:
$(1 - 2\sqrt{5})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2 = 1 - 4\sqrt{5} + 4 \cdot 5 = 1 - 4\sqrt{5} + 20 = 21 - 4\sqrt{5}$.
Так как $\sqrt{5}$ является иррациональным числом, то и выражение $21 - 4\sqrt{5}$ является иррациональным числом.
Ответ: иррациональное число.

г) Упростим выражение $2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot 3 \cdot \sqrt{15}$, сгруппировав множители:
$(2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{15}) = 6 \cdot \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 15} = 6 \cdot \sqrt{15 \cdot 15} = 6 \cdot \sqrt{15^2} = 6 \cdot 15 = 90$.
Число 90 является целым, следовательно, оно рациональное.
Ответ: рациональное число.

д) Упростим выражение $3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$, используя свойство корней $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$:
$3 \cdot \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 12} = 3 \cdot \sqrt{72}$.
Теперь упростим корень из 72: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
Подставим обратно в выражение: $3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$.
Так как $\sqrt{2}$ является иррациональным числом, то и произведение $18\sqrt{2}$ является иррациональным.
Ответ: иррациональное число.

е) Упростим дробь $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{6\sqrt{10}}$.
Сначала упростим числитель: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}$.
Теперь подставим это в дробь: $\frac{\sqrt{10}}{6\sqrt{10}}$.
Сократим $\sqrt{10}$ в числителе и знаменателе: $\frac{1}{6}$.
Число $\frac{1}{6}$ представлено в виде дроби двух целых чисел, что по определению является рациональным числом.
Ответ: рациональное число.