Номер 14, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 14, страница 12.

АНАЛИЗИРУЕМ (14–17)

14 Решите уравнение и укажите, рациональными или иррациональными числами являются его корни. Найдите приближённые значения иррациональных корней с одним знаком после запятой:

а) $25x^2 = 4$;

б) $6x^2 = 3$;

в) $0,6x^2 = 4,8$;

г) $1,5x^2 = 0,96$.

а) $25x^2 = 4$

Чтобы решить уравнение, сначала выразим $x^2$. Для этого разделим обе части уравнения на 25:

$x^2 = \frac{4}{25}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$ (где $a > 0$) имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.

$x = \pm\sqrt{\frac{4}{25}}$

$x = \pm\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$

$x = \pm\frac{2}{5}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{2}{5} = 0,4$ и $x_2 = -\frac{2}{5} = -0,4$.

Оба корня являются рациональными числами, так как они могут быть представлены в виде дроби $\frac{p}{q}$ (где $p$ — целое, $q$ — натуральное число) или в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: $x_1=0,4, x_2=-0,4$. Корни являются рациональными числами.

б) $6x^2 = 3$

Разделим обе части уравнения на 6:

$x^2 = \frac{3}{6}$

$x^2 = \frac{1}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

Так как $\sqrt{2}$ — это иррациональное число (бесконечная непериодическая десятичная дробь), то и корни $x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ являются иррациональными числами.

Найдем их приближенные значения с одним знаком после запятой. Используем приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1,414...$

$x \approx \pm\frac{1}{1,414...} \approx \pm0,707...$

Округляя до одного знака после запятой, получаем: $x_1 \approx 0,7$ и $x_2 \approx -0,7$.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}, x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Корни являются иррациональными числами. Приближенные значения: $x_1 \approx 0,7, x_2 \approx -0,7$.

в) $0,6x^2 = 4,8$

Разделим обе части уравнения на 0,6:

$x^2 = \frac{4,8}{0,6}$

$x^2 = \frac{48}{6}$

$x^2 = 8$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{8}$

Упростим корень: $x = \pm\sqrt{4 \cdot 2} = \pm2\sqrt{2}$.

Так как $\sqrt{2}$ — это иррациональное число, то и корни $x_1 = 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -2\sqrt{2}$ являются иррациональными.

Найдем их приближенные значения с одним знаком после запятой, используя $\sqrt{2} \approx 1,414...$

$x \approx \pm2 \cdot 1,414... \approx \pm2,828...$

Округляя до одного знака после запятой, получаем: $x_1 \approx 2,8$ и $x_2 \approx -2,8$.

Ответ: $x_1 = 2\sqrt{2}, x_2 = -2\sqrt{2}$. Корни являются иррациональными числами. Приближенные значения: $x_1 \approx 2,8, x_2 \approx -2,8$.

г) $1,5x^2 = 0,96$

Разделим обе части уравнения на 1,5:

$x^2 = \frac{0,96}{1,5}$

Чтобы избавиться от дробей в числителе и знаменателе, умножим их на 100:

$x^2 = \frac{96}{150}$

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 6:

$x^2 = \frac{96 \div 6}{150 \div 6} = \frac{16}{25}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{16}{25}}$

$x = \pm\frac{4}{5}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{4}{5} = 0,8$ и $x_2 = -\frac{4}{5} = -0,8$.

Оба корня являются рациональными числами.

Ответ: $x_1=0,8, x_2=-0,8$. Корни являются рациональными числами.