Номер 18, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 18, страница 13.

18 а) Постройте график функции $y = \frac{2}{x}$. Рис. 1.8

Найдите точки графика, у которых абсцисса и ордината равны. Рациональными или иррациональными являются координаты этих точек?

б) Постройте график функции $y = -\frac{6}{x}$. Определите координаты точек этого графика, у которых абсцисса и ордината являются противоположными числами. Рациональными или иррациональными являются координаты этих точек?

а)

Графиком функции $y = \frac{2}{x}$ является гипербола. Так как коэффициент $k=2 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$). Для построения графика составим таблицу значений:

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y$	-0.5	-1	-2	-4	4	2	1	0.5

Найдем точки графика, у которых абсцисса (координата $x$) и ордината (координата $y$) равны. Это означает, что должно выполняться условие $y = x$. Подставим это условие в уравнение функции, чтобы найти искомые точки:
$x = \frac{2}{x}$
Поскольку $x \neq 0$ (из области определения функции), мы можем умножить обе части уравнения на $x$:
$x^2 = 2$
Отсюда получаем два значения для $x$:
$x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$
Так как $y = x$, то соответствующие значения $y$ будут такими же: $y_1 = \sqrt{2}$ и $y_2 = -\sqrt{2}$.
Таким образом, мы нашли две точки: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Число $\sqrt{2}$ является иррациональным, так как оно не может быть представлено в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа. Следовательно, координаты обеих точек являются иррациональными числами.

Ответ: Точки с равными абсциссой и ординатой имеют координаты $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$. Координаты этих точек являются иррациональными числами.

б)

Графиком функции $y = -\frac{6}{x}$ является гипербола. Так как коэффициент $k=-6 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат. Составим таблицу значений для построения:

$x$	-6	-3	-2	-1	1	2	3	6
$y$	1	2	3	6	-6	-3	-2	-1

Определим координаты точек этого графика, у которых абсцисса и ордината являются противоположными числами. Это означает, что должно выполняться условие $y = -x$. Подставим это в уравнение функции:
$-x = -\frac{6}{x}$
Умножим обе части на -1:
$x = \frac{6}{x}$
Так как $x \neq 0$, умножим обе части на $x$:
$x^2 = 6$
Отсюда получаем два значения для $x$:
$x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ из условия $y = -x$:
Если $x_1 = \sqrt{6}$, то $y_1 = -\sqrt{6}$.
Если $x_2 = -\sqrt{6}$, то $y_2 = -(-\sqrt{6}) = \sqrt{6}$.
Таким образом, мы нашли две точки: $(\sqrt{6}, -\sqrt{6})$ и $(-\sqrt{6}, \sqrt{6})$.

Число $\sqrt{6}$ является иррациональным. Следовательно, координаты обеих найденных точек также являются иррациональными числами.

Ответ: Точки с противоположными абсциссой и ординатой имеют координаты $(\sqrt{6}, -\sqrt{6})$ и $(-\sqrt{6}, \sqrt{6})$. Координаты этих точек являются иррациональными числами.