Номер 24, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 24, страница 14.

24 РАССУЖДАЕМ Если при выполнении какой-нибудь арифметической операции с любыми двумя числами из некоторого множества получается число из этого же множества, то говорят, что данное множество чисел замкнуто относительно этой операции. Например, множество натуральных чисел $N$ замкнуто относительно сложения и не замкнуто относительно вычитания.

Заполните таблицу, используя знак «+», если множество замкнуто относительно указанной операции, и знак «–», если оно не замкнуто:

Операция Множество	Сложение	Вычитание	Умножение	Деление
$N$	+	–
$Z$
$Q$
$R$

Почему говорят, что арифметика целых чисел «богаче», чем арифметика натуральных чисел? арифметика рациональных чисел «богаче», чем арифметика целых чисел?

Заполните таблицу

Множество называется замкнутым относительно некоторой операции, если результат применения этой операции к любым двум элементам множества также принадлежит этому множеству. Ниже представлена таблица, заполненная знаками «+» (множество замкнуто) и «−» (множество не замкнуто) для указанных множеств и операций.

• Множество натуральных чисел $N=\{1, 2, 3, ...\}$ замкнуто относительно сложения и умножения, но не замкнуто относительно вычитания (например, $2-7 = -5 \notin N$) и деления (например, $3 \div 2 = 1.5 \notin N$).
• Множество целых чисел $Z=\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. Оно не замкнуто относительно деления (например, $5 \div 2 = 2.5 \notin Z$).
• Множество рациональных чисел $Q$ (числа вида $m/n$, где $m \in Z, n \in N$) замкнуто относительно всех четырех арифметических операций (при делении делитель не должен быть равен нулю).
• Множество действительных чисел $R$ (все рациональные и иррациональные числа) также замкнуто относительно всех четырех арифметических операций (при делении делитель не должен быть равен нулю).

Ответ:

Операция Множество	Сложение	Вычитание	Умножение	Деление
N	+	−	+	−
Z	+	+	+	−
Q	+	+	+	+
R	+	+	+	+

Почему говорят, что арифметика целых чисел «богаче», чем арифметика натуральных чисел? арифметика рациональных чисел «богаче», чем арифметика целых чисел?

Понятие «богатства» арифметики связано с количеством операций, которые можно выполнять, не выходя за пределы данного числового множества. Чем больше операций, относительно которых множество замкнуто, тем «богаче» его арифметика.

Арифметика целых чисел ($Z$) «богаче» арифметики натуральных чисел ($N$), потому что множество $Z$ включает в себя отрицательные числа и ноль. Это расширение позволяет выполнять операцию вычитания для любых двух чисел и получать результат, который всегда будет принадлежать множеству $Z$. Например, уравнение $x + 5 = 3$ не имеет решения в натуральных числах, но имеет решение $x = -2$ в целых числах. Таким образом, переход от $N$ к $Z$ «обогащает» арифметику, делая ее замкнутой относительно вычитания.

Арифметика рациональных чисел ($Q$) «богаче» арифметики целых чисел ($Z$), потому что множество $Q$ включает в себя дроби. Это позволяет выполнять операцию деления для любых двух чисел (кроме деления на ноль) и получать результат, который всегда будет принадлежать множеству $Q$. Например, уравнение $2x = 3$ не имеет решения в целых числах, но имеет решение $x = 3/2$ в рациональных числах. Переход от $Z$ к $Q$ «обогащает» арифметику, делая ее замкнутой относительно деления.

Ответ: Арифметика целых чисел «богаче» арифметики натуральных чисел, потому что множество целых чисел, в отличие от натуральных, замкнуто относительно операции вычитания. Арифметика рациональных чисел «богаче» арифметики целых чисел, потому что множество рациональных чисел, в отличие от целых, замкнуто относительно операции деления (на ненулевое число).