Номер 30, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 30, страница 16.

30 Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

б) $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}} - \frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{7}}$

в) $\frac{\sqrt{8}-3}{2\sqrt{2}+3} + \frac{\sqrt{8}+3}{2\sqrt{2}-3}$

г) $2 - \sqrt{3} + \frac{8}{2+\sqrt{3}}$

д) $\sqrt{(2-3\sqrt{2})^2} - 2\sqrt{2}$

е) $2\sqrt{5} - \sqrt{(1-2\sqrt{5})^2}$

а) $ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} $
Чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $ (\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) $. По формуле разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $, получаем:
$ (\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 $.
Теперь преобразуем все выражение:
$ \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3}) - \sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}) - (\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{(5 + \sqrt{15}) - (\sqrt{15} - 3)}{2} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{5 + \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 $.
Число 4 является целым, а значит и рациональным числом (можно представить в виде дроби $ \frac{4}{1} $).
Ответ: рациональное число.

б) $ \frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}} - \frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{7}} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ (\sqrt{2}+\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{7}) $, который по формуле разности квадратов равен $ (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2 = 2 - 7 = -5 $.
$ \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{7}) - (\sqrt{2}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{7})}{(\sqrt{2}+\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{7})} = \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2}+\sqrt{7})^2}{-5} $.
Используем формулы квадрата разности и квадрата суммы $ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $:
$ (\sqrt{2}-\sqrt{7})^2 = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 2 - 2\sqrt{14} + 7 = 9 - 2\sqrt{14} $.
$ (\sqrt{2}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 2 + 2\sqrt{14} + 7 = 9 + 2\sqrt{14} $.
Подставим полученные значения в числитель:
$ \frac{(9 - 2\sqrt{14}) - (9 + 2\sqrt{14})}{-5} = \frac{9 - 2\sqrt{14} - 9 - 2\sqrt{14}}{-5} = \frac{-4\sqrt{14}}{-5} = \frac{4\sqrt{14}}{5} $.
Так как $ \sqrt{14} $ является иррациональным числом, то и все выражение $ \frac{4\sqrt{14}}{5} $ является иррациональным.
Ответ: иррациональное число.

в) $ \frac{\sqrt{8}-3}{2\sqrt{2}+3} + \frac{\sqrt{8}+3}{2\sqrt{2}-3} $
Сначала упростим $ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} $. Подставим это в выражение:
$ \frac{2\sqrt{2}-3}{2\sqrt{2}+3} + \frac{2\sqrt{2}+3}{2\sqrt{2}-3} $.
Приведем к общему знаменателю $ (2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3) = (2\sqrt{2})^2 - 3^2 = 4 \cdot 2 - 9 = 8 - 9 = -1 $.
$ \frac{(2\sqrt{2}-3)^2 + (2\sqrt{2}+3)^2}{-1} $.
Раскроем квадраты в числителе:
$ (2\sqrt{2}-3)^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 8 - 12\sqrt{2} + 9 = 17 - 12\sqrt{2} $.
$ (2\sqrt{2}+3)^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 8 + 12\sqrt{2} + 9 = 17 + 12\sqrt{2} $.
Сложим выражения в числителе:
$ (17 - 12\sqrt{2}) + (17 + 12\sqrt{2}) = 17 - 12\sqrt{2} + 17 + 12\sqrt{2} = 34 $.
Тогда значение всего выражения равно $ \frac{34}{-1} = -34 $.
Число -34 является целым, а значит и рациональным.
Ответ: рациональное число.

г) $ 2 - \sqrt{3} + \frac{8}{2+\sqrt{3}} $
Упростим дробь, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ 2-\sqrt{3} $:
$ \frac{8}{2+\sqrt{3}} = \frac{8(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{8(2-\sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{8(2-\sqrt{3})}{4-3} = \frac{8(2-\sqrt{3})}{1} = 16 - 8\sqrt{3} $.
Подставим результат в исходное выражение:
$ 2 - \sqrt{3} + (16 - 8\sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 16 - 8\sqrt{3} = (2+16) + (-\sqrt{3}-8\sqrt{3}) = 18 - 9\sqrt{3} $.
Так как $ \sqrt{3} $ является иррациональным числом, то и все выражение $ 18 - 9\sqrt{3} $ является иррациональным.
Ответ: иррациональное число.

д) $ \sqrt{(2-3\sqrt{2})^2} - 2\sqrt{2} $
Используем свойство квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $.
$ \sqrt{(2-3\sqrt{2})^2} = |2-3\sqrt{2}| $.
Определим знак выражения под модулем. Сравним $ 2 $ и $ 3\sqrt{2} $. Возведем оба числа в квадрат: $ 2^2 = 4 $ и $ (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 $.
Так как $ 4 < 18 $, то $ 2 < 3\sqrt{2} $, следовательно, $ 2 - 3\sqrt{2} < 0 $.
По определению модуля, $ |2-3\sqrt{2}| = -(2-3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 2 $.
Подставим это в исходное выражение:
$ (3\sqrt{2} - 2) - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2 = \sqrt{2} - 2 $.
Так как $ \sqrt{2} $ является иррациональным числом, то и разность $ \sqrt{2}-2 $ является иррациональным числом.
Ответ: иррациональное число.

е) $ 2\sqrt{5} - \sqrt{(1-2\sqrt{5})^2} $
Используем свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $.
$ \sqrt{(1-2\sqrt{5})^2} = |1-2\sqrt{5}| $.
Определим знак выражения под модулем. Сравним $ 1 $ и $ 2\sqrt{5} $. Возведем в квадрат: $ 1^2 = 1 $ и $ (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20 $.
Так как $ 1 < 20 $, то $ 1 < 2\sqrt{5} $, следовательно, $ 1 - 2\sqrt{5} < 0 $.
По определению модуля, $ |1-2\sqrt{5}| = -(1-2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 1 $.
Подставим это в исходное выражение:
$ 2\sqrt{5} - (2\sqrt{5} - 1) = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 1 = 1 $.
Число 1 является целым, а значит и рациональным.
Ответ: рациональное число.