Номер 27, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 27, страница 15.

27 Приведите примеры, показывающие, что сумма, разность, произведение и частное двух иррациональных чисел могут быть как иррациональным, так и рациональным числом. Замкнуто ли множество иррациональных чисел относительно какой-либо арифметической операции?

Для доказательства приведем примеры для каждой из четырех основных арифметических операций, используя известные иррациональные числа, такие как $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.

Сумма

• Сумма — иррациональное число: Возьмем два иррациональных числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Их сумма $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ также является иррациональным числом. Другой пример: $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ — иррациональное число.
• Сумма — рациональное число: Возьмем два иррациональных числа $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$. Их сумма $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$. Число 0 является рациональным.

Ответ: Сумма двух иррациональных чисел может быть как иррациональным (например, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$), так и рациональным числом (например, $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$).

Разность

• Разность — иррациональное число: Возьмем два иррациональных числа $2\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$. Их разность $2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ является иррациональным числом.
• Разность — рациональное число: Возьмем два одинаковых иррациональных числа, например $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$. Их разность $\sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$. Число 0 является рациональным.

Ответ: Разность двух иррациональных чисел может быть как иррациональным (например, $2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$), так и рациональным числом (например, $\sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$).

Произведение

• Произведение — иррациональное число: Возьмем два иррациональных числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Их произведение $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ является иррациональным числом.
• Произведение — рациональное число: Возьмем два одинаковых иррациональных числа, например $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$. Их произведение $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$. Число 2 является рациональным.

Ответ: Произведение двух иррациональных чисел может быть как иррациональным (например, $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$), так и рациональным числом (например, $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$).

Частное

• Частное — иррациональное число: Возьмем два иррациональных числа $\sqrt{6}$ и $\sqrt{2}$. Их частное $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$ является иррациональным числом.
• Частное — рациональное число: Возьмем два одинаковых иррациональных числа, например $\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$. Их частное $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1$. Число 1 является рациональным.

Ответ: Частное двух иррациональных чисел может быть как иррациональным (например, $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$), так и рациональным числом (например, $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1$).

Замкнуто ли множество иррациональных чисел относительно какой-либо арифметической операции?
Множество называется замкнутым относительно некоторой операции, если результат применения этой операции к любым элементам множества всегда является элементом этого же множества.
Как показывают приведенные выше примеры, для каждой из четырех основных арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) существуют пары иррациональных чисел, результат операции над которыми является рациональным числом. Например:

• $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ (рациональное)
• $\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ (рациональное)
• $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ (рациональное)
• $\sqrt{2} / \sqrt{2} = 1$ (рациональное)

Поскольку результат операции не всегда является иррациональным числом, это означает, что множество иррациональных чисел не замкнуто ни относительно сложения, ни относительно вычитания, ни относительно умножения, ни относительно деления.
Ответ: Нет, множество иррациональных чисел не является замкнутым ни относительно одной из четырех основных арифметических операций.