Номер 29, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 29, страница 15.

29 1) Какое из равенств верно:

$|2 - \sqrt{5}| = 2 - \sqrt{5}$ или $|2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2?$

2) Запишите без знака модуля:

а) $|3 - \sqrt{10}|$;

б) $|\sqrt{18} - 4|$;

в) $|\pi^2 - 10|.$

3) Упростите, используя равенство $\sqrt{a^2} = |a|$:

а) $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}$;

б) $\sqrt{(\sqrt{20} - 4)^2}$;

в) $\sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{15})^2}$;

г) $\sqrt{(3 - \pi)^2}.$

1)

Для того чтобы определить, какое из равенств верно, нужно раскрыть модуль в выражении $|2 - \sqrt{5}|$. По определению, модуль числа $|a|$ равен самому числу $a$, если $a \ge 0$, и противоположенному числу $-a$, если $a < 0$.
Сначала определим знак выражения под знаком модуля, то есть $2 - \sqrt{5}$. Для этого сравним числа $2$ и $\sqrt{5}$. Возведем оба числа в квадрат: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Поскольку $4 < 5$, то $2 < \sqrt{5}$. Это означает, что разность $2 - \sqrt{5}$ является отрицательным числом.
Так как выражение под модулем отрицательно, его модуль равен противоположному выражению: $|2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = -2 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 2$.
Следовательно, верным является второе равенство.
Ответ: $|2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$.

2)

Для того чтобы записать выражения без знака модуля, необходимо определить знак подмодульного выражения в каждом случае.

а)

Рассмотрим выражение $|3 - \sqrt{10}|$. Сравним числа $3$ и $\sqrt{10}$. Возведем их в квадрат: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{10})^2 = 10$. Так как $9 < 10$, то $3 < \sqrt{10}$. Значит, выражение $3 - \sqrt{10}$ отрицательно. Следовательно, $|3 - \sqrt{10}| = -(3 - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - 3$.
Ответ: $\sqrt{10} - 3$.

б)

Рассмотрим выражение $|\sqrt{18} - 4|$. Сравним числа $\sqrt{18}$ и $4$. Возведем их в квадрат: $(\sqrt{18})^2 = 18$ и $4^2 = 16$. Так как $18 > 16$, то $\sqrt{18} > 4$. Значит, выражение $\sqrt{18} - 4$ положительно. Следовательно, $|\sqrt{18} - 4| = \sqrt{18} - 4$.
Ответ: $\sqrt{18} - 4$.

в)

Рассмотрим выражение $|\pi^2 - 10|$. Сравним числа $\pi^2$ и $10$. Известно, что число $\pi \approx 3.14159$. Возведем его в квадрат: $\pi^2 \approx 3.14159^2 \approx 9.8696$. Так как $9.8696 < 10$, то $\pi^2 < 10$. Значит, выражение $\pi^2 - 10$ отрицательно. Следовательно, $|\pi^2 - 10| = -(\pi^2 - 10) = 10 - \pi^2$.
Ответ: $10 - \pi^2$.

3)

Используем основное свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$.

а)

$\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = |1 - \sqrt{2}|$. Сравним $1$ и $\sqrt{2}$. Так как $1^2 = 1$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$, то $1 < \sqrt{2}$. Значит, $1 - \sqrt{2} < 0$. Таким образом, $|1 - \sqrt{2}| = -(1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$.
Ответ: $\sqrt{2} - 1$.

б)

$\sqrt{(\sqrt{20} - 4)^2} = |\sqrt{20} - 4|$. Сравним $\sqrt{20}$ и $4$. Так как $(\sqrt{20})^2 = 20$ и $4^2 = 16$, то $\sqrt{20} > 4$. Значит, $\sqrt{20} - 4 > 0$. Таким образом, $|\sqrt{20} - 4| = \sqrt{20} - 4$.
Ответ: $\sqrt{20} - 4$.

в)

$\sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{15})^2} = |\sqrt{10} - \sqrt{15}|$. Сравним $\sqrt{10}$ и $\sqrt{15}$. Так как $10 < 15$, то $\sqrt{10} < \sqrt{15}$. Значит, $\sqrt{10} - \sqrt{15} < 0$. Таким образом, $|\sqrt{10} - \sqrt{15}| = -(\sqrt{10} - \sqrt{15}) = \sqrt{15} - \sqrt{10}$.
Ответ: $\sqrt{15} - \sqrt{10}$.

г)

$\sqrt{(3 - \pi)^2} = |3 - \pi|$. Сравним $3$ и $\pi$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $3 < \pi$. Значит, $3 - \pi < 0$. Таким образом, $|3 - \pi| = -(3 - \pi) = \pi - 3$.
Ответ: $\pi - 3$.