Номер 32, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 32, страница 16.

32 Постройте график функции $y = -\frac{1}{\sqrt{2x}}$.

a) Проходит ли график этой функции хотя бы через одну точку, обе координаты которой являются рациональными числами?

б) Найдите координаты точек графика, у которых абсцисса и ордината являются противоположными числами.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{\sqrt{2x}}$ исследуем ее основные свойства.

1. Область определения. Выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным: $2x > 0$, следовательно, $x > 0$. Область определения функции $D(y) = (0, +\infty)$.
2. Область значений. Так как $\sqrt{2x} > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y = -\frac{1}{\sqrt{2x}} < 0$. Область значений функции $E(y) = (-\infty, 0)$.
3. Поведение на границах и асимптоты.
   • При $x \to 0^+$, знаменатель $\sqrt{2x} \to 0^+$, значит $y \to -\infty$. Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.
   • При $x \to +\infty$, знаменатель $\sqrt{2x} \to +\infty$, значит $y \to 0$. Прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой.
4. Ключевые точки. Вычислим координаты нескольких точек графика:

   $x$	1/8	1/2	2	8
   $y$	-2	-1	-1/2	-1/4

График функции — это возрастающая кривая, расположенная в IV координатной четверти, которая асимптотически приближается к осям координат.

а)

Допустим, что на графике существует точка $(x_0, y_0)$, обе координаты которой являются рациональными числами. Это значит, что $x_0 \in \mathbb{Q}$ и $y_0 \in \mathbb{Q}$. Для этой точки должно выполняться равенство $y_0 = -\frac{1}{\sqrt{2x_0}}$.

Из этого равенства выразим $\sqrt{2x_0}$: $\sqrt{2x_0} = -\frac{1}{y_0}$.

Поскольку $y_0$ — рациональное число (причем $y_0 \neq 0$), то и величина $q = -\frac{1}{y_0}$ также является рациональным числом, причем положительным ($q \in \mathbb{Q}, q > 0$).

Таким образом, мы имеем равенство $\sqrt{2x_0} = q$. Чтобы это было возможно, необходимо, чтобы подкоренное выражение $2x_0$ было полным квадратом рационального числа $q$. То есть, $2x_0 = q^2$, откуда $x_0 = \frac{q^2}{2}$.

Мы можем выбрать любое положительное рациональное число $q$ и по нему найти пару рациональных координат $(x_0, y_0)$.

Например, пусть $q=2$. Тогда ордината $y_0 = -\frac{1}{q} = -\frac{1}{2}$. Это рациональное число.

Соответствующая абсцисса $x_0 = \frac{q^2}{2} = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Это также рациональное число.

Значит, точка с координатами $(2, -1/2)$ принадлежит графику функции и обе её координаты рациональны.

Ответ: Да, проходит. Например, через точку $(2, -1/2)$.

б)

Требуется найти точки на графике, у которых абсцисса и ордината являются противоположными числами. Это условие можно записать как $y = -x$.

Для нахождения таких точек решим систему уравнений:

$y = -\frac{1}{\sqrt{2x}}$
$y = -x$

Приравняем правые части уравнений:

$-x = -\frac{1}{\sqrt{2x}}$

Поскольку из области определения $x > 0$, мы можем умножить обе части на $-1$ и на $\sqrt{2x}$:

$x = \frac{1}{\sqrt{2x}}$

$x\sqrt{2x} = 1$

Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(x\sqrt{2x})^2 = 1^2$

$x^2 \cdot (2x) = 1$

$2x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{2}$

Извлекаем кубический корень, чтобы найти $x$:

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{4}$:

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

Теперь найдем соответствующую ординату $y$:

$y = -x = -\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

Следовательно, искомая точка имеет координаты $\left(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, -\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)$.

Ответ: $\left(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, -\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)$.