Номер 28, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 28, страница 15.

28 РАССУЖДАЕМ Сравните:

а) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$,

$-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{5}$;

б) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$,

$-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}};

в) $1 - \sqrt{3}$ и $1 - \sqrt{5}$,

$\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ и $\frac{1}{1 - \sqrt{5}};

г) $\sqrt{3} - 1$ и $\sqrt{5} - 1$,

$\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ и $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$.

а) Сначала сравним $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для неотрицательных чисел, то есть, если $a < b$, то $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Поскольку $3 < 5$, то и $\sqrt{3} < \sqrt{5}$.
Далее сравним $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{5}$. Исходя из того, что $\sqrt{3} < \sqrt{5}$, при умножении обеих частей этого неравенства на $-1$ знак неравенства изменится на противоположный. Следовательно, $-\sqrt{3} > -\sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{3} < \sqrt{5}$; $-\sqrt{3} > -\sqrt{5}$.

б) Сначала сравним $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$. Из пункта (а) мы знаем, что $0 < \sqrt{3} < \sqrt{5}$. Для положительных чисел, чем больше число, тем меньше его обратная величина (функция $y=1/x$ убывает на интервале $(0, +\infty)$). Следовательно, $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Далее сравним $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}}$. Умножим неравенство $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$ на $-1$. Знак неравенства изменится на противоположный, и мы получим $-\frac{1}{\sqrt{3}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$; $-\frac{1}{\sqrt{3}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$.

в) Сначала сравним $1 - \sqrt{3}$ и $1 - \sqrt{5}$. Мы знаем, что $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Умножение этого неравенства на $-1$ меняет его знак: $-\sqrt{3} > -\sqrt{5}$. Прибавление $1$ к обеим частям не меняет знака неравенства: $1 - \sqrt{3} > 1 - \sqrt{5}$.
Далее сравним $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ и $\frac{1}{1 - \sqrt{5}}$. Оба знаменателя отрицательны, так как $\sqrt{3} \approx 1.73 > 1$ и $\sqrt{5} \approx 2.23 > 1$. Мы установили, что $1 - \sqrt{3} > 1 - \sqrt{5}$. Для двух отрицательных чисел, чем больше число, тем меньше его обратная величина (функция $y=1/x$ убывает на интервале $(-\infty, 0)$). Таким образом, $\frac{1}{1 - \sqrt{3}} < \frac{1}{1 - \sqrt{5}}$.
Ответ: $1 - \sqrt{3} > 1 - \sqrt{5}$; $\frac{1}{1 - \sqrt{3}} < \frac{1}{1 - \sqrt{5}}$.

г) Сначала сравним $\sqrt{3} - 1$ и $\sqrt{5} - 1$. Так как $\sqrt{3} < \sqrt{5}$, то вычитание $1$ из обеих частей неравенства не изменит его знака: $\sqrt{3} - 1 < \sqrt{5} - 1$.
Далее сравним $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ и $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$. Оба знаменателя положительны, так как $\sqrt{3} > 1$ и $\sqrt{5} > 1$. Мы установили, что $\sqrt{3} - 1 < \sqrt{5} - 1$. Для положительных чисел, чем меньше число, тем больше его обратная величина. Следовательно, $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} > \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$.
Ответ: $\sqrt{3} - 1 < \sqrt{5} - 1$; $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} > \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$.