Номер 31, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 31, страница 16.

РАССУЖДАЕМ (31–32)

31 Постройте график функции $y=\frac{\sqrt{2}}{x}$.

а) Проходит ли график этой функции хотя бы через одну точку, обе координаты которой — рациональные числа?

б) Найдите координаты точек графика, у которых абсцисса и ордината равны.

Данная функция $y = \frac{\sqrt{2}}{x}$ является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = \sqrt{2}$. Графиком этой функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k = \sqrt{2} > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика служат оси координат $Ox$ и $Oy$.

Для более точного построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

$x$	-2	$-\sqrt{2}$	-1	$1$	$\sqrt{2}$	$2$
$y$	$-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.71$	-1	$-\sqrt{2} \approx -1.41$	$\sqrt{2} \approx 1.41$	1	$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.71$

На основе этих точек и общего вида гиперболы можно построить ее график.

а) Проходит ли график этой функции хотя бы через одну точку, обе координаты которой — рациональные числа?

Предположим, что существует точка $(x_0, y_0)$ на графике функции, у которой обе координаты являются рациональными числами. То есть $x_0 \in \mathbb{Q}$, $y_0 \in \mathbb{Q}$, и при этом $x_0 \neq 0$. Для этой точки должно выполняться равенство $y_0 = \frac{\sqrt{2}}{x_0}$. Умножим обе части равенства на $x_0$: $x_0 \cdot y_0 = \sqrt{2}$. С левой стороны уравнения стоит произведение двух рациональных чисел ($x_0$ и $y_0$). Произведение рациональных чисел всегда является рациональным числом. С правой стороны уравнения стоит число $\sqrt{2}$, которое является иррациональным. Мы получили противоречие: рациональное число не может быть равно иррациональному. Следовательно, наше начальное предположение было неверным. На графике функции $y=\frac{\sqrt{2}}{x}$ нет ни одной точки с двумя рациональными координатами.
Ответ: нет, не проходит.

б) Найдите координаты точек графика, у которых абсцисса и ордината равны.

Условие равенства абсциссы и ординаты означает, что $x = y$. Подставим это условие в уравнение функции:

$$x = \frac{\sqrt{2}}{x}$$

Так как функция не определена при $x=0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x$, не опасаясь деления на ноль:

$$x^2 = \sqrt{2}$$

Это уравнение имеет два решения для $x$:

$$x_1 = \sqrt{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2}$$$$x_2 = -\sqrt{\sqrt{2}} = -\sqrt[4]{2}$$

Поскольку $y=x$, то ординаты в этих точках равны соответствующим абсциссам. Таким образом, мы нашли две точки, удовлетворяющие условию: $(\sqrt[4]{2}, \sqrt[4]{2})$ и $(-\sqrt[4]{2}, -\sqrt[4]{2})$.
Ответ: $(\sqrt[4]{2}, \sqrt[4]{2})$ и $(-\sqrt[4]{2}, -\sqrt[4]{2})$.