Номер 26, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 26, страница 15.

26 Докажите, что сумма, разность, произведение и частное рационального числа $b$ и иррационального числа $\beta$ есть число иррациональное.

Совет. Примените способ рассуждения от противного и воспользуйтесь результатами предыдущего упражнения.

Для доказательства всех утверждений мы будем использовать метод от противного. Основная идея заключается в том, чтобы предположить обратное (что результат операции является рациональным числом) и, используя свойства рациональных чисел, прийти к противоречию с исходным условием (что число $\beta$ иррационально).

Ключевым свойством, на которое мы будем опираться (упомянутое в совете как «результаты предыдущего упражнения»), является замкнутость множества рациональных чисел относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Это означает, что сумма, разность, произведение и частное двух любых рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Пусть $b$ — рациональное число, а $\beta$ — иррациональное число.

Сумма

Докажем, что сумма $b + \beta$ является иррациональным числом.

Предположим противное: пусть сумма $b + \beta$ является рациональным числом. Обозначим эту сумму буквой $c$. Тогда:

$b + \beta = c$, где $c$ — рациональное число.

Выразим из этого равенства иррациональное число $\beta$:

$\beta = c - b$

В правой части этого равенства находится разность двух рациональных чисел ($c$ и $b$). Поскольку множество рациональных чисел замкнуто относительно вычитания, результат $c - b$ также является рациональным числом. Это означает, что $\beta$ — рациональное число. Но это прямо противоречит нашему исходному условию, согласно которому $\beta$ — число иррациональное. Следовательно, наше первоначальное предположение было ложным.

Ответ: Сумма рационального и иррационального чисел есть число иррациональное.

Разность

Докажем, что разность $b - \beta$ (и $\beta - b$) является иррациональным числом.

Предположим противное: пусть разность $b - \beta$ является рациональным числом. Обозначим эту разность буквой $d$. Тогда:

$b - \beta = d$, где $d$ — рациональное число.

Выразим из этого равенства $\beta$:

$\beta = b - d$

В правой части равенства находится разность двух рациональных чисел ($b$ и $d$), результат которой также является рациональным числом. Таким образом, мы получаем, что $\beta$ — рациональное число, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: Разность рационального и иррационального чисел есть число иррациональное.

Произведение

Докажем, что произведение $b \cdot \beta$ является иррациональным числом, при условии что $b \neq 0$. (Если $b = 0$, то $0 \cdot \beta = 0$, что является рациональным числом).

Пусть $b \neq 0$. Предположим противное: пусть произведение $b \cdot \beta$ является рациональным числом. Обозначим его буквой $f$. Тогда:

$b \cdot \beta = f$, где $f$ — рациональное число.

Поскольку $b \neq 0$, мы можем разделить обе части равенства на $b$:

$\beta = \frac{f}{b}$

В правой части находится частное двух рациональных чисел ($f$ и $b$), которое, в силу замкнутости множества рациональных чисел относительно деления (на ненулевое число), является рациональным числом. Это означает, что $\beta$ — рациональное число, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение было ложным.

Ответ: Произведение ненулевого рационального числа и иррационального числа есть число иррациональное.

Частное

Докажем, что частное от деления рационального числа $b$ и иррационального числа $\beta$ является иррациональным числом, при условии что $b \neq 0$. (Число $\beta$ не может быть нулем, так как все иррациональные числа ненулевые).

Рассмотрим два возможных случая: $\frac{\beta}{b}$ и $\frac{b}{\beta}$.

1. Частное $\frac{\beta}{b}$. Предположим противное: пусть $\frac{\beta}{b} = g$, где $g$ — рациональное число. Тогда $\beta = g \cdot b$. Произведение двух рациональных чисел ($g$ и $b$) есть число рациональное. Следовательно, $\beta$ — рациональное число, что приводит к противоречию.

2. Частное $\frac{b}{\beta}$. Предположим противное: пусть $\frac{b}{\beta} = h$, где $h$ — рациональное число. Поскольку $b \neq 0$, то и $h \neq 0$. Выразим $\beta$: $h \cdot \beta = b$, откуда $\beta = \frac{b}{h}$. Частное двух рациональных чисел ($b$ и $h$, где $h \neq 0$) есть число рациональное. Следовательно, $\beta$ — рациональное число, что снова приводит к противоречию.

Оба случая приводят к противоречию, значит, наше исходное предположение было неверным.

Ответ: Частное ненулевого рационального числа и иррационального числа есть число иррациональное.