Номер 19, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 19, страница 13.

19 Как начинается бесконечная десятичная дробь, представляющая данное число:

а) $ \frac{3}{11} $;

б) $ \frac{23}{32} $;

в) $ \sqrt{126} $;

г) $ \sqrt{2,36} $?

а) Чтобы найти, как начинается бесконечная десятичная дробь для числа $ \frac{3}{11} $, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. При делении 3 на 11 в столбик получаем следующую последовательность действий:
$3 \div 11 = 0$ (остаток 3)
$30 \div 11 = 2$ (остаток 8)
$80 \div 11 = 7$ (остаток 3)
Поскольку остаток 3 повторился, группа цифр "27" будет бесконечно повторяться. Такая дробь называется бесконечной периодической. Таким образом, число $ \frac{3}{11} $ в виде десятичной дроби записывается как $0,2727...$ или $0,(27)$.
Ответ: $0,2727...$

б) Чтобы представить дробь $ \frac{23}{32} $ в виде десятичной, разделим числитель 23 на знаменатель 32. Поскольку знаменатель $ 32 = 2^5 $, то есть не содержит простых множителей, отличных от 2 и 5, данная дробь обращается в конечную десятичную дробь. Выполнив деление, получаем:
$ \frac{23}{32} = 0,71875 $
По условию задачи требуется представить число в виде бесконечной десятичной дроби. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной, дописав справа бесконечное число нулей.
Ответ: $0,71875000...$

в) Чтобы найти начало десятичной дроби для числа $ \sqrt{126} $, будем подбирать его значение. Сначала найдем целую часть. Известно, что $ 11^2 = 121 $ и $ 12^2 = 144 $. Так как $ 121 < 126 < 144 $, то $ 11 < \sqrt{126} < 12 $. Следовательно, целая часть числа равна 11.
Теперь найдем первую цифру после запятой. Проверим $11,2^2 = 125,44$ и $11,3^2 = 127,69$. Так как $125,44 < 126 < 127,69$, то $ 11,2 < \sqrt{126} < 11,3 $. Первая цифра после запятой — 2.
Найдем вторую цифру. Проверим $11,22^2 = 125,8884$ и $11,23^2 = 126,1129$. Так как $125,8884 < 126 < 126,1129$, то $ 11,22 < \sqrt{126} < 11,23 $. Вторая цифра после запятой — 2.
Продолжая этот процесс, можно найти последующие цифры.
Ответ: $11,224...$

г) Чтобы найти начало десятичной дроби для числа $ \sqrt{2,36} $, будем действовать аналогично предыдущему пункту. Найдем целую часть: $ 1^2 = 1 $ и $ 2^2 = 4 $. Так как $ 1 < 2,36 < 4 $, то $ 1 < \sqrt{2,36} < 2 $. Целая часть равна 1.
Найдем первую цифру после запятой. Проверим $1,5^2 = 2,25$ и $1,6^2 = 2,56$. Так как $2,25 < 2,36 < 2,56$, то $ 1,5 < \sqrt{2,36} < 1,6 $. Первая цифра после запятой — 5.
Найдем вторую цифру. Проверим $1,53^2 = 2,3409$ и $1,54^2 = 2,3716$. Так как $2,3409 < 2,36 < 2,3716$, то $ 1,53 < \sqrt{2,36} < 1,54 $. Вторая цифра после запятой — 3.
Найдем третью цифру. Проверим $1,536^2 = 2,359296$ и $1,537^2 = 2,362369$. Так как $2,359296 < 2,36 < 2,362369$, то $ 1,536 < \sqrt{2,36} < 1,537 $. Третья цифра после запятой — 6.
Ответ: $1,536...$