Номер 15, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 15, страница 12.

15 В окружность с центром $O$ и радиусом, равным $1$, вписан треугольник (рис. $1.7$, а, б). Для каждой стороны треугольника выясните, рациональным или иррациональным числом выражается её длина.

а) На рисунке изображен треугольник $ABC$ с вершинами на окружности, центр окружности $O$ лежит на стороне $AC$. Угол при вершине $A$ равен $45^\circ$.

б) На рисунке изображен треугольник $ABC$ с вершинами на окружности, центр окружности $O$ лежит на стороне $AC$. Угол при вершине $A$ равен $60^\circ$.

Рис. $1.7$

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов, согласно которой для любого треугольника, вписанного в окружность, отношение длины стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности: $\frac{a}{\sin A} = 2R$. В нашем случае радиус $R=1$, поэтому формула упрощается до $a = 2 \sin A$.

а)

Рассмотрим треугольник ABC, изображенный на рис. 1.7, а.
1. Сторона AC. Так как эта сторона проходит через центр окружности O, она является диаметром. Её длина равна $AC = 2R = 2 \cdot 1 = 2$. Число 2 является рациональным.
2. Стороны AB и BC. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым, поэтому $\angle ABC = 90^\circ$. Из условия нам дан $\angle BAC = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Теперь найдем длины сторон AB и BC по теореме синусов:
Длина стороны BC (противолежит углу $45^\circ$): $BC = 2R \sin(\angle BAC) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.
Длина стороны AB (противолежит углу $45^\circ$): $AB = 2R \sin(\angle BCA) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.
Ответ: Длина стороны AC равна 2 (рациональное число), длины сторон AB и BC равны $\sqrt{2}$ (иррациональные числа).

б)

Рассмотрим треугольник ABC, изображенный на рис. 1.7, б.
1. Сторона AC. Аналогично предыдущему случаю, сторона AC является диаметром, и её длина $AC = 2R = 2 \cdot 1 = 2$. Число 2 является рациональным.
2. Стороны AB и BC. Угол $\angle ABC$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Из условия нам дан $\angle BAC = 60^\circ$. Тогда третий угол $\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Найдем длины сторон AB и BC по теореме синусов:
Длина стороны BC (противолежит углу $60^\circ$): $BC = 2R \sin(\angle BAC) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Число $\sqrt{3}$ является иррациональным.
Длина стороны AB (противолежит углу $30^\circ$): $AB = 2R \sin(\angle BCA) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. Число 1 является рациональным.
Ответ: Длины сторон AC и AB равны 2 и 1 соответственно (рациональные числа), а длина стороны BC равна $\sqrt{3}$ (иррациональное число).