Номер 16, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 16, страница 12.

16 Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2);$

б) $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 2);$

в) $(1 - 2\sqrt{5})^2;$

г) $2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot 3 \cdot \sqrt{15};$

д) $3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12};$

е) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{6\sqrt{10}}.$

а) Для упрощения выражения $(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2)$ используем формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
Подставим наши значения, где $a = \sqrt{7}$ и $b = 2$:
$(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2) = (\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3$.
Число 3 является целым, а любое целое число является рациональным.
Ответ: рациональное число.

б) Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 2)$:
$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 2) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 1\sqrt{3} + (-1)(-2) = (\sqrt{3})^2 - 3\sqrt{3} + 2 = 3 - 3\sqrt{3} + 2 = 5 - 3\sqrt{3}$.
Так как $\sqrt{3}$ является иррациональным числом, то и разность $5 - 3\sqrt{3}$ также является иррациональным числом.
Ответ: иррациональное число.

в) Для раскрытия выражения $(1 - 2\sqrt{5})^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Подставим наши значения, где $a = 1$ и $b = 2\sqrt{5}$:
$(1 - 2\sqrt{5})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2 = 1 - 4\sqrt{5} + 4 \cdot 5 = 1 - 4\sqrt{5} + 20 = 21 - 4\sqrt{5}$.
Так как $\sqrt{5}$ является иррациональным числом, то и выражение $21 - 4\sqrt{5}$ является иррациональным числом.
Ответ: иррациональное число.

г) Упростим выражение $2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot 3 \cdot \sqrt{15}$, сгруппировав множители:
$(2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{15}) = 6 \cdot \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 15} = 6 \cdot \sqrt{15 \cdot 15} = 6 \cdot \sqrt{15^2} = 6 \cdot 15 = 90$.
Число 90 является целым, следовательно, оно рациональное.
Ответ: рациональное число.

д) Упростим выражение $3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$, используя свойство корней $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$:
$3 \cdot \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 12} = 3 \cdot \sqrt{72}$.
Теперь упростим корень из 72: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
Подставим обратно в выражение: $3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$.
Так как $\sqrt{2}$ является иррациональным числом, то и произведение $18\sqrt{2}$ является иррациональным.
Ответ: иррациональное число.

е) Упростим дробь $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{6\sqrt{10}}$.
Сначала упростим числитель: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}$.
Теперь подставим это в дробь: $\frac{\sqrt{10}}{6\sqrt{10}}$.
Сократим $\sqrt{10}$ в числителе и знаменателе: $\frac{1}{6}$.
Число $\frac{1}{6}$ представлено в виде дроби двух целых чисел, что по определению является рациональным числом.
Ответ: рациональное число.