Номер 9, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 9, страница 11.

Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют данному условию, и запишите его на символическом языке:

a) $ |x - 4| \le 1 $

б) $ |x - 4| \ge 1 $

в) $ |x + 5| < 2 $

г) $ |x + 5| > 2 $

д) $ |x| \le 6 $

е) $ |x| \ge 3 $

Образец.

1) $ |x - 6| \le 2 $ — расстояние от точки $x$ до точки 6 не превосходит 2 (рис. 1.4, а);

2) $ |x - 6| > 2 $ — расстояние от точки $x$ до точки 6 больше 2 (рис. 1.4, б).

a) 2 2

4 6 8

$[4; 8]$

б) 4 6 8

$(-\infty; 4) \cup (8; +\infty)$

Рис. 1.4

а) $|x - 4| \le 1$

Геометрически это неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки $4$ на координатной прямой не превосходит $1$. Это эквивалентно двойному неравенству:

$-1 \le x - 4 \le 1$

Прибавим $4$ ко всем частям неравенства:

$-1 + 4 \le x \le 1 + 4$

$3 \le x \le 5$

На координатной прямой это множество представляет собой отрезок, заключенный между точками $3$ и $5$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки $3$ и $5$ включаются в множество (изображаются закрашенными точками).

Ответ: $x \in [3; 5]$

б) $|x - 4| \ge 1$

Геометрически это неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки $4$ на координатной прямой не меньше $1$. Это эквивалентно совокупности двух неравенств:

$x - 4 \ge 1$ или $x - 4 \le -1$

Решаем каждое неравенство:

$x \ge 5$ или $x \le 3$

На координатной прямой это множество представляет собой объединение двух лучей: один направлен от $3$ влево, а другой — от $5$ вправо. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки $3$ и $5$ включаются в множество (изображаются закрашенными точками).

Ответ: $x \in (-\infty; 3] \cup [5; +\infty)$

в) $|x + 5| < 2$

Перепишем неравенство в виде $|x - (-5)| < 2$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-5$ меньше $2$. Это эквивалентно двойному неравенству:

$-2 < x + 5 < 2$

Вычтем $5$ из всех частей неравенства:

$-2 - 5 < x < 2 - 5$

$-7 < x < -3$

На координатной прямой это множество представляет собой интервал между точками $-7$ и $-3$. Так как неравенство строгое ($<$), точки $-7$ и $-3$ не включаются в множество (изображаются выколотыми точками).

Ответ: $x \in (-7; -3)$

г) $|x + 5| > 2$

Перепишем неравенство в виде $|x - (-5)| > 2$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-5$ больше $2$. Это эквивалентно совокупности двух неравенств:

$x + 5 > 2$ или $x + 5 < -2$

Решаем каждое неравенство:

$x > -3$ или $x < -7$

На координатной прямой это множество представляет собой объединение двух открытых лучей: один направлен от $-7$ влево, а другой — от $-3$ вправо. Так как неравенство строгое ($>$), точки $-7$ и $-3$ не включаются в множество (изображаются выколотыми точками).

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (-3; +\infty)$

д) $|x| \le 6$

Это неравенство можно записать как $|x - 0| \le 6$. Геометрически оно означает, что расстояние от точки $x$ до начала координат (точки $0$) не превосходит $6$. Это эквивалентно двойному неравенству:

$-6 \le x \le 6$

На координатной прямой это множество представляет собой отрезок от $-6$ до $6$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки $-6$ и $6$ включаются в множество (изображаются закрашенными точками).

Ответ: $x \in [-6; 6]$

е) $|x| \ge 3$

Это неравенство можно записать как $|x - 0| \ge 3$. Геометрически оно означает, что расстояние от точки $x$ до начала координат (точки $0$) не меньше $3$. Это эквивалентно совокупности двух неравенств:

$x \ge 3$ или $x \le -3$

На координатной прямой это множество представляет собой объединение двух лучей: один направлен от $-3$ влево, а другой — от $3$ вправо. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки $-3$ и $3$ включаются в множество (изображаются закрашенными точками).

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$