Номер 8, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 8, страница 11.

8 Найдите объединение и пересечение множеств $A$ и $B$, если:

a) $A = [-6; 2]$, $B = [0; 4];$

б) $A = [-6; 2)$, $B = [2; 4];$

в) $A = [-6; 2]$, $B = (0; 2).$

■ Рис. 1.3

Образец. Пусть $A = [3; 8]$, $B = [5; 10]$. Тогда $A\cup B = [3; 10]$, $A\cap B = [5; 8]$ (рис. 1.3).

а) Даны множества $A = [-6; 2]$ и $B = [0; 4]$.

Объединение множеств ($A \cup B$) — это множество, которое включает все элементы из A и B. Для нахождения объединения промежутков нужно взять наименьшее начало ($-6$) и наибольший конец ($4$). Таким образом, объединение — это все числа от $-6$ до $4$ включительно.
$A \cup B = [-6; 4]$.

Пересечение множеств ($A \cap B$) — это множество, которое включает только общие для A и B элементы. Нужно найти общую часть промежутков $[-6; 2]$ и $[0; 4]$. Общими будут числа, которые одновременно больше или равны $0$ и меньше или равны $2$.
$A \cap B = [0; 2]$.

Ответ: $A \cup B = [-6; 4]$; $A \cap B = [0; 2]$.

---

б) Даны множества $A = [-6; 2)$ и $B = [2; 4]$.

Объединение множеств ($A \cup B$). Множество A включает числа вплоть до $2$, не включая саму двойку. Множество B начинается с числа $2$, включая его. Вместе они образуют непрерывный промежуток от $-6$ до $4$, так как точка $2$ "закрывается" множеством B.
$A \cup B = [-6; 4]$.

Пересечение множеств ($A \cap B$). Ищем общие элементы. Число $2$ является единственной возможной общей точкой. Однако, $2$ не принадлежит множеству A (так как скобка круглая), хотя и принадлежит множеству B. Поскольку элемент для пересечения должен принадлежать обоим множествам, общих элементов нет. Пересечение пусто.
$A \cap B = \emptyset$.

Ответ: $A \cup B = [-6; 4]$; $A \cap B = \emptyset$.

---

в) Даны множества $A = [-6; 2]$ и $B = (0; 2)$.

Объединение множеств ($A \cup B$). Множество B, интервал $(0; 2)$, целиком содержится внутри множества A, отрезка $[-6; 2]$ (то есть $B \subset A$). В этом случае объединение совпадает с бо́льшим множеством, то есть с A.
$A \cup B = [-6; 2]$.

Пересечение множеств ($A \cap B$). Поскольку множество B является подмножеством A, то их общими элементами будут все элементы множества B. Пересечение множества с его подмножеством равно этому подмножеству.
$A \cap B = (0; 2)$.

Ответ: $A \cup B = [-6; 2]$; $A \cap B = (0; 2)$.