Номер 4, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 4, страница 10.

Прочитайте следующие утверждения и определите, верны ли они:

а) $-10 \in Z$, $-10 \in Q$, $\sqrt{2} + \sqrt{3} \in R$;

б) $\frac{\pi}{2} \in Z$, $\frac{\pi}{2} \notin Q$, $\frac{\pi}{2} \in R$;

в) $-\frac{1}{7} \in Z$, $-\frac{1}{7} \notin R$, $-\frac{1}{7} \in Q$.

Для определения верности утверждений необходимо вспомнить определения числовых множеств:

• $ \mathbb{Z} $ — множество целых чисел. Это натуральные числа (1, 2, 3, ...), противоположные им числа (-1, -2, -3, ...) и ноль.
• $ \mathbb{Q} $ — множество рациональных чисел. Это числа, которые можно представить в виде дроби $ \frac{p}{q} $, где $ p \in \mathbb{Z} $, а $ q \in \mathbb{N} $. К ним относятся все целые числа и конечные или бесконечные периодические десятичные дроби.
• $ \mathbb{R} $ — множество действительных (вещественных) чисел. Оно включает в себя все рациональные и иррациональные числа (числа, представляемые бесконечными непериодическими десятичными дробями, например, $ \pi, \sqrt{2} $).

а) Разберем последовательно все три утверждения:

1. Утверждение $ -10 \in \mathbb{Z} $. Число -10 является отрицательным целым числом, поэтому оно принадлежит множеству целых чисел $ \mathbb{Z} $. Утверждение верно.

2. Утверждение $ -10 \in \mathbb{Q} $. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, $ -10 = \frac{-10}{1} $. Следовательно, число -10 принадлежит множеству рациональных чисел $ \mathbb{Q} $. Утверждение верно.

3. Утверждение $ \sqrt{2} + \sqrt{3} \in \mathbb{R} $. Числа $ \sqrt{2} $ и $ \sqrt{3} $ являются иррациональными, а все иррациональные числа входят в множество действительных чисел $ \mathbb{R} $. Сумма двух действительных чисел также всегда является действительным числом. Следовательно, $ \sqrt{2} + \sqrt{3} $ принадлежит множеству $ \mathbb{R} $. Утверждение верно.

Ответ: все три утверждения в этом пункте верны.

б) Разберем последовательно все три утверждения:

1. Утверждение $ \frac{\pi}{2} \in \mathbb{Z} $. Число $ \pi \approx 3.14159... $, следовательно $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57079... $. Это число не является целым. Утверждение неверно.

2. Утверждение $ \frac{\pi}{2} \in \mathbb{Q} $. Число $ \pi $ является иррациональным. При делении иррационального числа на ненулевое рациональное число (в данном случае на 2) результат также будет иррациональным. Таким образом, $ \frac{\pi}{2} $ не принадлежит множеству рациональных чисел $ \mathbb{Q} $. Утверждение неверно.

3. Утверждение $ \frac{\pi}{2} \in \mathbb{R} $. Множество действительных чисел $ \mathbb{R} $ включает в себя все иррациональные числа. Поскольку $ \frac{\pi}{2} $ — иррациональное число, оно принадлежит множеству действительных чисел. Утверждение верно.

Ответ: первые два утверждения неверны, третье — верно.

в) Разберем последовательно все три утверждения:

1. Утверждение $ -\frac{1}{7} \in \mathbb{Z} $. Число $ -\frac{1}{7} $ является дробным, а не целым. Множество целых чисел $ \mathbb{Z} $ не содержит нецелых дробей. Утверждение неверно.

2. Утверждение $ -\frac{1}{7} \notin \mathbb{R} $. Это утверждение означает, что $ -\frac{1}{7} $ не является действительным числом. Однако, $ -\frac{1}{7} $ — это рациональное число, а все рациональные числа являются действительными. Значит, $ -\frac{1}{7} \in \mathbb{R} $. Следовательно, исходное утверждение о непринадлежности неверно.

3. Утверждение $ -\frac{1}{7} \in \mathbb{Q} $. По определению, любое число, которое можно записать в виде дроби $ \frac{p}{q} $ с целым числителем и натуральным знаменателем, является рациональным. Число $ -\frac{1}{7} $ соответствует этому определению. Утверждение верно.

Ответ: первое и второе утверждения неверны, третье — верно.