Номер 2, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 2, страница 10.

2 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Верно ли утверждение:

a) всякое натуральное число является целым;

б) всякое целое число является натуральным;

в) всякое целое число является рациональным;

г) всякое иррациональное число является действительным;

д) всякое действительное число является рациональным?

а) всякое натуральное число является целым;

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним определения натуральных и целых чисел. Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете: $1, 2, 3, 4, ...$. Множество натуральных чисел обозначается как $\mathbb{N}$. Целые числа — это натуральные числа, им противоположные числа и ноль: $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$. Множество целых чисел обозначается как $\mathbb{Z}$. Сравнивая эти два множества, мы видим, что все элементы множества натуральных чисел ($\mathbb{N}$) также содержатся в множестве целых чисел ($\mathbb{Z}$). Например, число 5 является и натуральным, и целым. Таким образом, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел ($\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$). Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

б) всякое целое число является натуральным;

Рассмотрим множества целых ($\mathbb{Z}$) и натуральных ($\mathbb{N}$) чисел. Как мы установили ранее, $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ и $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$. Утверждение гласит, что всякое целое число является натуральным. Это означало бы, что множество $\mathbb{Z}$ является подмножеством множества $\mathbb{N}$. Однако это не так. Например, число -2 является целым, но не является натуральным. Число 0 также является целым, но не натуральным. Поскольку существуют целые числа, которые не являются натуральными, данное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

в) всякое целое число является рациональным;

Разберемся, что такое рациональные числа. Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Множество рациональных чисел обозначается как $\mathbb{Q}$. Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $z = \frac{z}{1}$. В этой записи числитель $z$ является целым числом, а знаменатель 1 — натуральным. Это полностью соответствует определению рационального числа. Например, $7 = \frac{7}{1}$, $-15 = \frac{-15}{1}$, $0 = \frac{0}{1}$. Таким образом, любое целое число является рациональным, и множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$).

Ответ: верно.

г) всякое иррациональное число является действительным;

Рассмотрим определения иррациональных и действительных чисел. Действительные (или вещественные) числа ($\mathbb{R}$) — это множество, объединяющее в себе рациональные числа ($\mathbb{Q}$) и иррациональные числа ($\mathbb{I}$). Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, например, $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$. Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. По самому определению, множество действительных чисел состоит из двух непересекающихся подмножеств: рациональных и иррациональных чисел. Следовательно, любое иррациональное число по определению является действительным числом. Множество иррациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$).

Ответ: верно.

д) всякое действительное число является рациональным?

Проверим утверждение, что всякое действительное число является рациональным. Как было указано в предыдущем пункте, множество действительных чисел $\mathbb{R}$ является объединением множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ и множества иррациональных чисел $\mathbb{I}$, то есть $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$. Это означает, что существуют действительные числа, которые не являются рациональными — это иррациональные числа. Например, число $\pi$ является действительным, но не является рациональным. То же самое можно сказать про $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ и многие другие. Поскольку существуют действительные числа, не являющиеся рациональными, данное утверждение неверно.

Ответ: неверно.