Номер 10, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 10, страница 11.

10 Используя циркуль и линейку, отметьте на координатной прямой числа: $\sqrt{2}$; $-\sqrt{2}$; $\sqrt{2} - 1$; $1$; $1 - \sqrt{2}$; $-2\sqrt{2}$. Запишите данные числа в порядке возрастания.

Используя циркуль и линейку, отметьте на координатной прямой числа: $\sqrt{2}$; $-\sqrt{2}$; $\sqrt{2}-1$; $1$; $1-\sqrt{2}$; $-2\sqrt{2}$.
Для построения этих чисел на координатной прямой сначала необходимо построить отрезок длиной $\sqrt{2}$.
1. С помощью линейки начертим координатную прямую. Отметим на ней точку начала отсчета $O$ (число 0) и единичный отрезок, отметив точку $A$ (число 1).
2. В точке $A$ (координата 1) восстановим перпендикуляр к оси и отложим на нем единичный отрезок. Конец этого отрезка назовем точкой $B$.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAB$. Его катеты $OA$ и $AB$ равны 1. По теореме Пифагора, длина гипотенузы $OB$ равна: $OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
4. С помощью циркуля измерим длину отрезка $OB$. Это будет наш радиус, равный $\sqrt{2}$.
5. Поставим ножку циркуля в точку $O$ (начало координат) и этим радиусом ($\sqrt{2}$) сделаем две засечки на координатной прямой. Точка справа от нуля будет соответствовать числу $\sqrt{2}$, а точка слева от нуля — числу $-\sqrt{2}$.
6. Теперь отметим остальные числа:
- Число 1: уже отмечено (точка $A$).
- Число $\sqrt{2}-1$: От точки $\sqrt{2}$ отложим единичный отрезок (равный $OA$) влево. Получим искомую точку.
- Число $1-\sqrt{2}$: Поставим ножку циркуля в точку 1 (точка $A$) и радиусом $\sqrt{2}$ (равным $OB$) сделаем засечку на координатной прямой слева от точки 1.
- Число $-2\sqrt{2}$: Поставим ножку циркуля в точку $-\sqrt{2}$ и радиусом $\sqrt{2}$ (равным $OB$) сделаем засечку на координатной прямой слева от точки $-\sqrt{2}$.
Таким образом, все указанные числа отмечены на координатной прямой.
Ответ: Точки на координатной прямой строятся в соответствии с описанным выше алгоритмом, где ключевым шагом является построение отрезка длиной $\sqrt{2}$ как гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными 1.

Запишите данные числа в порядке возрастания.
Нам нужно упорядочить числа: $\sqrt{2}$; $-\sqrt{2}$; $\sqrt{2}-1$; $1$; $1-\sqrt{2}$; $-2\sqrt{2}$.
Для этого сравним их значения.
1. Разделим числа на отрицательные и положительные.
Отрицательные числа: $-\sqrt{2}$, $1-\sqrt{2}$ (так как $1 < \sqrt{2}$), $-2\sqrt{2}$.
Положительные числа: $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}-1$ (так как $\sqrt{2} > 1$), $1$.
2. Сравним отрицательные числа.
- Сравним $2\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$. Так как $2>1$, то $2\sqrt{2} > \sqrt{2}$, а значит $-2\sqrt{2} < -\sqrt{2}$.
- Сравним $-\sqrt{2}$ и $1-\sqrt{2}$. Прибавим к обеим частям $\sqrt{2}$: получим 0 и 1. Так как $0 < 1$, то $-\sqrt{2} < 1-\sqrt{2}$.
- Таким образом, для отрицательных чисел имеем: $-2\sqrt{2} < -\sqrt{2} < 1-\sqrt{2}$.
3. Сравним положительные числа.
- Сравним $\sqrt{2}-1$ и $1$. Прибавим к обеим частям 1: получим $\sqrt{2}$ и 2. Так как $\sqrt{2} < \sqrt{4} = 2$, то $\sqrt{2}-1 < 1$.
- Сравним 1 и $\sqrt{2}$. Так как $1 = \sqrt{1}$, а $1 < 2$, то $\sqrt{1} < \sqrt{2}$, значит $1 < \sqrt{2}$.
- Таким образом, для положительных чисел имеем: $\sqrt{2}-1 < 1 < \sqrt{2}$.
4. Объединим результаты. Так как любое отрицательное число меньше любого положительного, получаем итоговый порядок:
$-2\sqrt{2} < -\sqrt{2} < 1-\sqrt{2} < \sqrt{2}-1 < 1 < \sqrt{2}$.
Запишем числа через точку с запятой в порядке возрастания.
Ответ: $-2\sqrt{2}$; $-\sqrt{2}$; $1-\sqrt{2}$; $\sqrt{2}-1$; $1$; $\sqrt{2}$.