Номер 13, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 13, страница 12.

13 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Выберите верные утверждения:

а) каждому рациональному числу соответствует точка координатной прямой;

б) каждой точке координатной прямой соответствует рациональное число;

в) каждому иррациональному числу соответствует точка координатной прямой;

г) каждой точке координатной прямой соответствует иррациональное число;

д) каждому действительному числу соответствует точка координатной прямой;

е) каждой точке координатной прямой соответствует действительное число.

а) каждому рациональному числу соответствует точка координатной прямой;

Рациональные числа (обозначаются как $\mathbb{Q}$) — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Например, $5 = \frac{5}{1}$, $0.5 = \frac{1}{2}$, $-3 = \frac{-3}{1}$. Рациональные числа являются подмножеством действительных чисел ($\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$). Поскольку каждому действительному числу соответствует точка на координатной прямой, то и каждому рациональному числу, как его части, тоже соответствует точка на этой прямой. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

б) каждой точке координатной прямой соответствует рациональное число;

Это утверждение неверно. Оно означает, что на координатной прямой нет точек, которые бы соответствовали другим числам, кроме рациональных. Однако существуют иррациональные числа, которым также соответствуют точки на координатной прямой. Например, число $\sqrt{2}$ является иррациональным, и ему соответствует точка на прямой, которую можно построить (как диагональ квадрата со стороной 1). Точка, соответствующая числу $\pi \approx 3.14159...$, также находится на координатной прямой, но $\pi$ не является рациональным числом. Следовательно, не каждой точке соответствует рациональное число.
Ответ: Неверно.

в) каждому иррациональному числу соответствует точка координатной прямой;

Иррациональные числа (обозначаются как $\mathbb{I}$) — это действительные числа, которые не являются рациональными. Примеры: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$. Иррациональные числа также являются подмножеством действительных чисел ($\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$). По аналогии с пунктом а), раз каждому действительному числу соответствует точка на прямой, то и каждому иррациональному числу соответствует своя единственная точка. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

г) каждой точке координатной прямой соответствует иррациональное число;

Это утверждение неверно по той же причине, что и утверждение б). На координатной прямой существуют точки, которые соответствуют рациональным числам. Например, точка, соответствующая числу 2 (которое является рациональным), или точка, соответствующая началу координат (числу $0$). Следовательно, не каждой точке соответствует иррациональное число.
Ответ: Неверно.

д) каждому действительному числу соответствует точка координатной прямой;

Множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Основное свойство координатной прямой (или числовой оси) заключается в том, что она является геометрической моделью множества действительных чисел. Это означает, что для любого действительного числа, будь то $5$, $-\frac{1}{3}$ или $\pi$, найдется единственная соответствующая ему точка на прямой. Это одна из частей аксиомы о взаимно-однозначном соответствии между действительными числами и точками на прямой.
Ответ: Верно.

е) каждой точке координатной прямой соответствует действительное число.

Это вторая часть аксиомы о взаимно-однозначном соответствии. Она утверждает, что какую бы точку на координатной прямой мы ни взяли, ей обязательно будет соответствовать некоторое действительное число. На прямой нет "пустых" мест или "проколов", которые не были бы заняты каким-либо действительным числом. Это свойство называется непрерывностью числовой прямой.
Ответ: Верно.

Таким образом, верными являются утверждения: а), в), д), е).