Номер 22, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 22, страница 13.

22 Сравните числа:

а) $ \frac{2}{9} $ и 0,23;

в) $ \sqrt{40} $ и 6,4;

д) 0,53247... и 0,53147...;

б) $ \frac{3}{7} $ и 0,428;

г) $ 1\frac{5}{7} $ и $ \sqrt{3} $;

е) -1,15 и -1,1485... .

а) Чтобы сравнить дробь $\frac{2}{9}$ и десятичную дробь $0,23$, переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2}{9} = 2 \div 9 = 0,222... = 0,(2)$

Теперь сравним десятичные дроби $0,(2)$ и $0,23$. Сравниваем по разрядам, начиная слева:

Цифры в разряде десятых одинаковы (2).

Цифра в разряде сотых у первого числа равна 2, а у второго — 3.

Так как $2 < 3$, то $0,222... < 0,23$.

Следовательно, $\frac{2}{9} < 0,23$.

Ответ: $\frac{2}{9} < 0,23$.

б) Чтобы сравнить дробь $\frac{3}{7}$ и десятичную дробь $0,428$, переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{3}{7} = 3 \div 7 \approx 0,42857...$

Теперь сравним числа $0,42857...$ и $0,428$. Запишем второе число с нулями на конце для наглядности: $0,42800...$

Первые три цифры после запятой у обоих чисел совпадают (4, 2, 8).

Цифра в разряде десятитысячных у первого числа равна 5, а у второго — 0.

Так как $5 > 0$, то $0,42857... > 0,428$.

Следовательно, $\frac{3}{7} > 0,428$.

Ответ: $\frac{3}{7} > 0,428$.

в) Чтобы сравнить числа $\sqrt{40}$ и $6,4$, возведем оба числа в квадрат. Так как оба числа положительные, знак неравенства при возведении в квадрат сохранится.

$(\sqrt{40})^2 = 40$

$(6,4)^2 = 6,4 \times 6,4 = 40,96$

Теперь сравним результаты: $40$ и $40,96$.

Так как $40 < 40,96$, то и исходные числа находятся в том же соотношении.

Следовательно, $\sqrt{40} < 6,4$.

Ответ: $\sqrt{40} < 6,4$.

г) Чтобы сравнить числа $1\frac{5}{7}$ и $\sqrt{3}$, возведем оба положительных числа в квадрат.

Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$.

Возводим в квадрат первое число: $(1\frac{5}{7})^2 = (\frac{12}{7})^2 = \frac{12^2}{7^2} = \frac{144}{49}$.

Возводим в квадрат второе число: $(\sqrt{3})^2 = 3$.

Теперь сравним $\frac{144}{49}$ и $3$. Приведем число 3 к знаменателю 49: $3 = \frac{3 \cdot 49}{49} = \frac{147}{49}$.

Сравниваем дроби $\frac{144}{49}$ и $\frac{147}{49}$. Так как знаменатели равны, сравниваем числители.

Поскольку $144 < 147$, то $\frac{144}{49} < \frac{147}{49}$.

Следовательно, $1\frac{5}{7} < \sqrt{3}$.

Ответ: $1\frac{5}{7} < \sqrt{3}$.

д) Сравним бесконечные десятичные дроби $0,53247...$ и $0,53147...$ путем поразрядного сравнения слева направо.

Целые части равны (0).

Цифры в разряде десятых равны (5).

Цифры в разряде сотых равны (3).

Цифры в разряде тысячных различаются: у первого числа это 2, у второго — 1.

Так как $2 > 1$, то первое число больше второго.

Следовательно, $0,53247... > 0,53147...$.

Ответ: $0,53247... > 0,53147...$.

е) Сравним отрицательные числа $-1,15$ и $-1,1485...$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Найдем модули этих чисел: $|-1,15| = 1,15$ и $|-1,1485...| = 1,1485...$.

Теперь сравним их модули: $1,15$ и $1,1485...$.

Целые части и цифры в разряде десятых совпадают (1).

Цифры в разряде сотых различаются: у первого числа это 5, у второго — 4.

Так как $5 > 4$, то $1,15 > 1,1485...$.

Это означает, что $|-1,15| > |-1,1485...|$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный.

Следовательно, $-1,15 < -1,1485...$.

Ответ: $-1,15 < -1,1485...$.