Страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

17 На рисунке 1.8 построены прямые

$y = \sqrt{2}x$, $y = -\sqrt{2}x$, $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x$ и

$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x$. Соотнесите каждую прямую с её уравнением. Для каждой прямой определите:

ординату точки, абсцисса которой равна 1;

абсциссу точки, ордината которой равна 4.

Все представленные уравнения являются уравнениями прямых вида $y=kx$, проходящих через начало координат. Угловой коэффициент $k$ определяет наклон прямой.

• Если $k > 0$, прямая возрастает и расположена в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$, прямая убывает и расположена во II и IV координатных четвертях.
• Чем больше абсолютное значение $|k|$, тем круче прямая (ближе к оси $y$).

Сравним угловые коэффициенты: $k_1 = \sqrt{2} \approx 1.414$, $k_2 = -\sqrt{2} \approx -1.414$, $k_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$, $k_4 = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$.

Прямые 3 и 4 имеют положительные коэффициенты, а прямые 1 и 2 — отрицательные. Среди положительных коэффициентов $\sqrt{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$, значит, прямая 3 (более крутая) соответствует уравнению $y=\sqrt{2}x$, а прямая 4 (более пологая) — $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x$. Среди отрицательных коэффициентов $|-\sqrt{2}| > |-\frac{\sqrt{2}}{2}|$, значит, прямая 2 (более крутая) соответствует уравнению $y=-\sqrt{2}x$, а прямая 1 (более пологая) — $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x$.

Теперь найдем требуемые значения для каждой прямой.

1

Эта прямая соответствует уравнению $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x$.
1. Найдем ординату точки, абсцисса которой равна 1. Подставим $x=1$ в уравнение:
$y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Найдем абсциссу точки, ордината которой равна 4. Подставим $y=4$ в уравнение:
$4 = -\frac{\sqrt{2}}{2}x$
$x = -\frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = -\frac{8}{\sqrt{2}} = -\frac{8\sqrt{2}}{2} = -4\sqrt{2}$.
Ответ: Прямая 1 соответствует уравнению $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x$. При $x=1$ ордината равна $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. При $y=4$ абсцисса равна $-4\sqrt{2}$.

2

Эта прямая соответствует уравнению $y = -\sqrt{2}x$.
1. Найдем ординату точки, абсцисса которой равна 1. Подставим $x=1$ в уравнение:
$y = -\sqrt{2} \cdot 1 = -\sqrt{2}$.
2. Найдем абсциссу точки, ордината которой равна 4. Подставим $y=4$ в уравнение:
$4 = -\sqrt{2}x$
$x = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -\frac{4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$.
Ответ: Прямая 2 соответствует уравнению $y = -\sqrt{2}x$. При $x=1$ ордината равна $-\sqrt{2}$. При $y=4$ абсцисса равна $-2\sqrt{2}$.

3

Эта прямая соответствует уравнению $y = \sqrt{2}x$.
1. Найдем ординату точки, абсцисса которой равна 1. Подставим $x=1$ в уравнение:
$y = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$.
2. Найдем абсциссу точки, ордината которой равна 4. Подставим $y=4$ в уравнение:
$4 = \sqrt{2}x$
$x = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
Ответ: Прямая 3 соответствует уравнению $y = \sqrt{2}x$. При $x=1$ ордината равна $\sqrt{2}$. При $y=4$ абсцисса равна $2\sqrt{2}$.

4

Эта прямая соответствует уравнению $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x$.
1. Найдем ординату точки, абсцисса которой равна 1. Подставим $x=1$ в уравнение:
$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Найдем абсциссу точки, ордината которой равна 4. Подставим $y=4$ в уравнение:
$4 = \frac{\sqrt{2}}{2}x$
$x = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$.
Ответ: Прямая 4 соответствует уравнению $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x$. При $x=1$ ордината равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. При $y=4$ абсцисса равна $4\sqrt{2}$.

18 а) Постройте график функции $y = \frac{2}{x}$. Рис. 1.8

Найдите точки графика, у которых абсцисса и ордината равны. Рациональными или иррациональными являются координаты этих точек?

б) Постройте график функции $y = -\frac{6}{x}$. Определите координаты точек этого графика, у которых абсцисса и ордината являются противоположными числами. Рациональными или иррациональными являются координаты этих точек?

а)

Графиком функции $y = \frac{2}{x}$ является гипербола. Так как коэффициент $k=2 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$). Для построения графика составим таблицу значений:

Найдем точки графика, у которых абсцисса (координата $x$) и ордината (координата $y$) равны. Это означает, что должно выполняться условие $y = x$. Подставим это условие в уравнение функции, чтобы найти искомые точки:
$x = \frac{2}{x}$
Поскольку $x \neq 0$ (из области определения функции), мы можем умножить обе части уравнения на $x$:
$x^2 = 2$
Отсюда получаем два значения для $x$:
$x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$
Так как $y = x$, то соответствующие значения $y$ будут такими же: $y_1 = \sqrt{2}$ и $y_2 = -\sqrt{2}$.
Таким образом, мы нашли две точки: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Число $\sqrt{2}$ является иррациональным, так как оно не может быть представлено в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа. Следовательно, координаты обеих точек являются иррациональными числами.

Ответ: Точки с равными абсциссой и ординатой имеют координаты $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$. Координаты этих точек являются иррациональными числами.

б)

Графиком функции $y = -\frac{6}{x}$ является гипербола. Так как коэффициент $k=-6 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат. Составим таблицу значений для построения:

Определим координаты точек этого графика, у которых абсцисса и ордината являются противоположными числами. Это означает, что должно выполняться условие $y = -x$. Подставим это в уравнение функции:
$-x = -\frac{6}{x}$
Умножим обе части на -1:
$x = \frac{6}{x}$
Так как $x \neq 0$, умножим обе части на $x$:
$x^2 = 6$
Отсюда получаем два значения для $x$:
$x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ из условия $y = -x$:
Если $x_1 = \sqrt{6}$, то $y_1 = -\sqrt{6}$.
Если $x_2 = -\sqrt{6}$, то $y_2 = -(-\sqrt{6}) = \sqrt{6}$.
Таким образом, мы нашли две точки: $(\sqrt{6}, -\sqrt{6})$ и $(-\sqrt{6}, \sqrt{6})$.

Число $\sqrt{6}$ является иррациональным. Следовательно, координаты обеих найденных точек также являются иррациональными числами.

Ответ: Точки с противоположными абсциссой и ординатой имеют координаты $(\sqrt{6}, -\sqrt{6})$ и $(-\sqrt{6}, \sqrt{6})$. Координаты этих точек являются иррациональными числами.

19 Как начинается бесконечная десятичная дробь, представляющая данное число:

а) $ \frac{3}{11} $;

б) $ \frac{23}{32} $;

в) $ \sqrt{126} $;

г) $ \sqrt{2,36} $?

а) Чтобы найти, как начинается бесконечная десятичная дробь для числа $ \frac{3}{11} $, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. При делении 3 на 11 в столбик получаем следующую последовательность действий:
$3 \div 11 = 0$ (остаток 3)
$30 \div 11 = 2$ (остаток 8)
$80 \div 11 = 7$ (остаток 3)
Поскольку остаток 3 повторился, группа цифр "27" будет бесконечно повторяться. Такая дробь называется бесконечной периодической. Таким образом, число $ \frac{3}{11} $ в виде десятичной дроби записывается как $0,2727...$ или $0,(27)$.
Ответ: $0,2727...$

б) Чтобы представить дробь $ \frac{23}{32} $ в виде десятичной, разделим числитель 23 на знаменатель 32. Поскольку знаменатель $ 32 = 2^5 $, то есть не содержит простых множителей, отличных от 2 и 5, данная дробь обращается в конечную десятичную дробь. Выполнив деление, получаем:
$ \frac{23}{32} = 0,71875 $
По условию задачи требуется представить число в виде бесконечной десятичной дроби. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной, дописав справа бесконечное число нулей.
Ответ: $0,71875000...$

в) Чтобы найти начало десятичной дроби для числа $ \sqrt{126} $, будем подбирать его значение. Сначала найдем целую часть. Известно, что $ 11^2 = 121 $ и $ 12^2 = 144 $. Так как $ 121 < 126 < 144 $, то $ 11 < \sqrt{126} < 12 $. Следовательно, целая часть числа равна 11.
Теперь найдем первую цифру после запятой. Проверим $11,2^2 = 125,44$ и $11,3^2 = 127,69$. Так как $125,44 < 126 < 127,69$, то $ 11,2 < \sqrt{126} < 11,3 $. Первая цифра после запятой — 2.
Найдем вторую цифру. Проверим $11,22^2 = 125,8884$ и $11,23^2 = 126,1129$. Так как $125,8884 < 126 < 126,1129$, то $ 11,22 < \sqrt{126} < 11,23 $. Вторая цифра после запятой — 2.
Продолжая этот процесс, можно найти последующие цифры.
Ответ: $11,224...$

г) Чтобы найти начало десятичной дроби для числа $ \sqrt{2,36} $, будем действовать аналогично предыдущему пункту. Найдем целую часть: $ 1^2 = 1 $ и $ 2^2 = 4 $. Так как $ 1 < 2,36 < 4 $, то $ 1 < \sqrt{2,36} < 2 $. Целая часть равна 1.
Найдем первую цифру после запятой. Проверим $1,5^2 = 2,25$ и $1,6^2 = 2,56$. Так как $2,25 < 2,36 < 2,56$, то $ 1,5 < \sqrt{2,36} < 1,6 $. Первая цифра после запятой — 5.
Найдем вторую цифру. Проверим $1,53^2 = 2,3409$ и $1,54^2 = 2,3716$. Так как $2,3409 < 2,36 < 2,3716$, то $ 1,53 < \sqrt{2,36} < 1,54 $. Вторая цифра после запятой — 3.
Найдем третью цифру. Проверим $1,536^2 = 2,359296$ и $1,537^2 = 2,362369$. Так как $2,359296 < 2,36 < 2,362369$, то $ 1,536 < \sqrt{2,36} < 1,537 $. Третья цифра после запятой — 6.
Ответ: $1,536...$

20 Округлите до сотых число:

а) $2.3561$;

б) $0.0724$;

в) $12.1818\dots$;

г) $3.166166\dots$;

д) $5.919119111\dots$;

е) $0.07891011\dots$;

ж) $3.785$;

з) $0.895$;

и) $2.996$.

Чтобы округлить десятичную дробь до сотых, нужно оставить после запятой две цифры, отбросив все последующие. При этом необходимо посмотреть на первую отбрасываемую цифру (стоящую в разряде тысячных). Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущая цифра (в разряде сотых) не изменяется. Если же эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущая цифра увеличивается на единицу.

а) Рассмотрим число $2,3561$. Цифра в разряде сотых — 5. Следующая за ней цифра в разряде тысячных — 6. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде сотых увеличиваем на 1: $5 + 1 = 6$. Отбрасываем цифры правее сотых. Получаем $2,36$.
$2,3561 \approx 2,36$.
Ответ: 2,36.

б) Рассмотрим число $0,0724$. Цифра в разряде сотых — 7. Следующая за ней цифра — 2. Так как $2 < 5$, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений. Отбрасываем цифры правее сотых. Получаем $0,07$.
$0,0724 \approx 0,07$.
Ответ: 0,07.

в) Рассмотрим число $12,1818...$. Цифра в разряде сотых — 8. Следующая за ней цифра — 1. Так как $1 < 5$, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений. Отбрасываем цифры правее сотых. Получаем $12,18$.
$12,1818... \approx 12,18$.
Ответ: 12,18.

г) Рассмотрим число $3,166166...$. Цифра в разряде сотых — 6. Следующая за ней цифра — 6. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде сотых увеличиваем на 1: $6 + 1 = 7$. Отбрасываем цифры правее сотых. Получаем $3,17$.
$3,166166... \approx 3,17$.
Ответ: 3,17.

д) Рассмотрим число $5,919119111...$. Цифра в разряде сотых — 1. Следующая за ней цифра — 9. Так как $9 \ge 5$, то цифру в разряде сотых увеличиваем на 1: $1 + 1 = 2$. Отбрасываем цифры правее сотых. Получаем $5,92$.
$5,919119111... \approx 5,92$.
Ответ: 5,92.

е) Рассмотрим число $0,07891011...$. Цифра в разряде сотых — 7. Следующая за ней цифра — 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде сотых увеличиваем на 1: $7 + 1 = 8$. Отбрасываем цифры правее сотых. Получаем $0,08$.
$0,07891011... \approx 0,08$.
Ответ: 0,08.

ж) Рассмотрим число $3,785$. Цифра в разряде сотых — 8. Следующая за ней цифра — 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде сотых увеличиваем на 1: $8 + 1 = 9$. Отбрасываем цифры правее сотых. Получаем $3,79$.
$3,785 \approx 3,79$.
Ответ: 3,79.

з) Рассмотрим число $0,895$. Цифра в разряде сотых — 9. Следующая за ней цифра — 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде сотых нужно увеличить на 1. Поскольку $9+1=10$, то в разряде сотых пишем 0, а к разряду десятых прибавляем 1: $8+1=9$. Получаем $0,90$.
$0,895 \approx 0,90$.
Ответ: 0,90.

и) Рассмотрим число $2,996$. Цифра в разряде сотых — 9. Следующая за ней цифра — 6. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде сотых нужно увеличить на 1. Это вызывает цепное увеличение разрядов: $9+1=10$ в сотых дает 0 и перенос 1 в десятые; $9+1=10$ в десятых дает 0 и перенос 1 в целые; $2+1=3$ в целых. Получаем $3,00$.
$2,996 \approx 3,00$.
Ответ: 3,00.

21 Принадлежит ли отрезку $[1,57; 1,58]$ число:

а) 1,57001;

б) 1,581;

в) $1\frac{4}{7}$;

г) $\sqrt{3}$;

д) $\sqrt{2,5}$;

е) $\sqrt{2,48}$;

ж) $\frac{\pi}{2}$?

(При необходимости используйте калькулятор.)

а) Чтобы определить, принадлежит ли число 1,57001 отрезку [1,57; 1,58], нужно проверить, выполняется ли двойное неравенство $1,57 \le 1,57001 \le 1,58$.
Левая часть неравенства: $1,57 \le 1,57001$ — верно, так как 1,57 можно представить как 1,57000.
Правая часть неравенства: $1,57001 \le 1,58$ — верно.
Поскольку оба условия выполняются, число 1,57001 принадлежит отрезку.
Ответ: принадлежит.

б) Проверяем для числа 1,581 неравенство $1,57 \le 1,581 \le 1,58$.
Левая часть неравенства: $1,57 \le 1,581$ — верно.
Правая часть неравенства: $1,581 \le 1,58$ — неверно, так как $1,581 > 1,58$.
Следовательно, число 1,581 не принадлежит отрезку.
Ответ: не принадлежит.

в) Переведем смешанную дробь $1\frac{4}{7}$ в десятичную. Для этого разделим 4 на 7.
$1\frac{4}{7} = 1 + 4:7 = 1 + 0,571428... \approx 1,5714$.
Проверяем неравенство: $1,57 \le 1,5714... \le 1,58$.
Левая часть: $1,57 \le 1,5714...$ — верно.
Правая часть: $1,5714... \le 1,58$ — верно.
Следовательно, число $1\frac{4}{7}$ принадлежит отрезку.
Ответ: принадлежит.

г) Чтобы сравнить $\sqrt{3}$ с границами отрезка [1,57; 1,58], можно возвести все части в квадрат (так как все числа положительны).
$1,57^2 = 2,4649$
$1,58^2 = 2,4964$
$(\sqrt{3})^2 = 3$
Проверяем, находится ли 3 в отрезке [2,4649; 2,4964].
$2,4649 \le 3 \le 2,4964$ — это неверно, так как $3 > 2,4964$. Значит, $\sqrt{3} > 1,58$.
Также можно воспользоваться калькулятором: $\sqrt{3} \approx 1,732$, что очевидно больше 1,58.
Ответ: не принадлежит.

д) Сравним $\sqrt{2,5}$ с границами отрезка, используя метод возведения в квадрат.
$1,57^2 = 2,4649$
$1,58^2 = 2,4964$
$(\sqrt{2,5})^2 = 2,5$
Проверяем, находится ли 2,5 в отрезке [2,4649; 2,4964].
$2,4649 \le 2,5 \le 2,4964$ — это неверно, так как $2,5 > 2,4964$. Значит, $\sqrt{2,5} > 1,58$.
С помощью калькулятора: $\sqrt{2,5} \approx 1,5811$, что больше 1,58.
Ответ: не принадлежит.

е) Сравним $\sqrt{2,48}$ с границами отрезка, используя метод возведения в квадрат.
$1,57^2 = 2,4649$
$1,58^2 = 2,4964$
$(\sqrt{2,48})^2 = 2,48$
Проверяем, находится ли 2,48 в отрезке [2,4649; 2,4964].
$2,4649 \le 2,48 \le 2,4964$ — это верное неравенство.
Следовательно, $1,57 \le \sqrt{2,48} \le 1,58$.
С помощью калькулятора: $\sqrt{2,48} \approx 1,5748$, что удовлетворяет условию $1,57 \le 1,5748 \le 1,58$.
Ответ: принадлежит.

ж) Вычислим приближенное значение для $\frac{\pi}{2}$. Используя приближение $\pi \approx 3,14159...$:
$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,570795...$
Проверяем неравенство: $1,57 \le 1,570795... \le 1,58$.
Левая часть: $1,57 \le 1,570795...$ — верно.
Правая часть: $1,570795... \le 1,58$ — верно.
Следовательно, число $\frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку.
Ответ: принадлежит.

22 Сравните числа:

а) $ \frac{2}{9} $ и 0,23;

в) $ \sqrt{40} $ и 6,4;

д) 0,53247... и 0,53147...;

б) $ \frac{3}{7} $ и 0,428;

г) $ 1\frac{5}{7} $ и $ \sqrt{3} $;

е) -1,15 и -1,1485... .

а) Чтобы сравнить дробь $\frac{2}{9}$ и десятичную дробь $0,23$, переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2}{9} = 2 \div 9 = 0,222... = 0,(2)$

Теперь сравним десятичные дроби $0,(2)$ и $0,23$. Сравниваем по разрядам, начиная слева:

Цифры в разряде десятых одинаковы (2).

Цифра в разряде сотых у первого числа равна 2, а у второго — 3.

Так как $2 < 3$, то $0,222... < 0,23$.

Следовательно, $\frac{2}{9} < 0,23$.

Ответ: $\frac{2}{9} < 0,23$.

б) Чтобы сравнить дробь $\frac{3}{7}$ и десятичную дробь $0,428$, переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{3}{7} = 3 \div 7 \approx 0,42857...$

Теперь сравним числа $0,42857...$ и $0,428$. Запишем второе число с нулями на конце для наглядности: $0,42800...$

Первые три цифры после запятой у обоих чисел совпадают (4, 2, 8).

Цифра в разряде десятитысячных у первого числа равна 5, а у второго — 0.

Так как $5 > 0$, то $0,42857... > 0,428$.

Следовательно, $\frac{3}{7} > 0,428$.

Ответ: $\frac{3}{7} > 0,428$.

в) Чтобы сравнить числа $\sqrt{40}$ и $6,4$, возведем оба числа в квадрат. Так как оба числа положительные, знак неравенства при возведении в квадрат сохранится.

$(\sqrt{40})^2 = 40$

$(6,4)^2 = 6,4 \times 6,4 = 40,96$

Теперь сравним результаты: $40$ и $40,96$.

Так как $40 < 40,96$, то и исходные числа находятся в том же соотношении.

Следовательно, $\sqrt{40} < 6,4$.

Ответ: $\sqrt{40} < 6,4$.

г) Чтобы сравнить числа $1\frac{5}{7}$ и $\sqrt{3}$, возведем оба положительных числа в квадрат.

Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$.

Возводим в квадрат первое число: $(1\frac{5}{7})^2 = (\frac{12}{7})^2 = \frac{12^2}{7^2} = \frac{144}{49}$.

Возводим в квадрат второе число: $(\sqrt{3})^2 = 3$.

Теперь сравним $\frac{144}{49}$ и $3$. Приведем число 3 к знаменателю 49: $3 = \frac{3 \cdot 49}{49} = \frac{147}{49}$.

Сравниваем дроби $\frac{144}{49}$ и $\frac{147}{49}$. Так как знаменатели равны, сравниваем числители.

Поскольку $144 < 147$, то $\frac{144}{49} < \frac{147}{49}$.

Следовательно, $1\frac{5}{7} < \sqrt{3}$.

Ответ: $1\frac{5}{7} < \sqrt{3}$.

д) Сравним бесконечные десятичные дроби $0,53247...$ и $0,53147...$ путем поразрядного сравнения слева направо.

Целые части равны (0).

Цифры в разряде десятых равны (5).

Цифры в разряде сотых равны (3).

Цифры в разряде тысячных различаются: у первого числа это 2, у второго — 1.

Так как $2 > 1$, то первое число больше второго.

Следовательно, $0,53247... > 0,53147...$.

Ответ: $0,53247... > 0,53147...$.

е) Сравним отрицательные числа $-1,15$ и $-1,1485...$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Найдем модули этих чисел: $|-1,15| = 1,15$ и $|-1,1485...| = 1,1485...$.

Теперь сравним их модули: $1,15$ и $1,1485...$.

Целые части и цифры в разряде десятых совпадают (1).

Цифры в разряде сотых различаются: у первого числа это 5, у второго — 4.

Так как $5 > 4$, то $1,15 > 1,1485...$.

Это означает, что $|-1,15| > |-1,1485...|$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный.

Следовательно, $-1,15 < -1,1485...$.

Ответ: $-1,15 < -1,1485...$.