Страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

30 Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

б) $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}} - \frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{7}}$

в) $\frac{\sqrt{8}-3}{2\sqrt{2}+3} + \frac{\sqrt{8}+3}{2\sqrt{2}-3}$

г) $2 - \sqrt{3} + \frac{8}{2+\sqrt{3}}$

д) $\sqrt{(2-3\sqrt{2})^2} - 2\sqrt{2}$

е) $2\sqrt{5} - \sqrt{(1-2\sqrt{5})^2}$

а) $ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} $
Чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $ (\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) $. По формуле разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $, получаем:
$ (\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 $.
Теперь преобразуем все выражение:
$ \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3}) - \sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}) - (\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{(5 + \sqrt{15}) - (\sqrt{15} - 3)}{2} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{5 + \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 $.
Число 4 является целым, а значит и рациональным числом (можно представить в виде дроби $ \frac{4}{1} $).
Ответ: рациональное число.

б) $ \frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}} - \frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{7}} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ (\sqrt{2}+\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{7}) $, который по формуле разности квадратов равен $ (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2 = 2 - 7 = -5 $.
$ \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{7}) - (\sqrt{2}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{7})}{(\sqrt{2}+\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{7})} = \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2}+\sqrt{7})^2}{-5} $.
Используем формулы квадрата разности и квадрата суммы $ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $:
$ (\sqrt{2}-\sqrt{7})^2 = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 2 - 2\sqrt{14} + 7 = 9 - 2\sqrt{14} $.
$ (\sqrt{2}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 2 + 2\sqrt{14} + 7 = 9 + 2\sqrt{14} $.
Подставим полученные значения в числитель:
$ \frac{(9 - 2\sqrt{14}) - (9 + 2\sqrt{14})}{-5} = \frac{9 - 2\sqrt{14} - 9 - 2\sqrt{14}}{-5} = \frac{-4\sqrt{14}}{-5} = \frac{4\sqrt{14}}{5} $.
Так как $ \sqrt{14} $ является иррациональным числом, то и все выражение $ \frac{4\sqrt{14}}{5} $ является иррациональным.
Ответ: иррациональное число.

в) $ \frac{\sqrt{8}-3}{2\sqrt{2}+3} + \frac{\sqrt{8}+3}{2\sqrt{2}-3} $
Сначала упростим $ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} $. Подставим это в выражение:
$ \frac{2\sqrt{2}-3}{2\sqrt{2}+3} + \frac{2\sqrt{2}+3}{2\sqrt{2}-3} $.
Приведем к общему знаменателю $ (2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3) = (2\sqrt{2})^2 - 3^2 = 4 \cdot 2 - 9 = 8 - 9 = -1 $.
$ \frac{(2\sqrt{2}-3)^2 + (2\sqrt{2}+3)^2}{-1} $.
Раскроем квадраты в числителе:
$ (2\sqrt{2}-3)^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 8 - 12\sqrt{2} + 9 = 17 - 12\sqrt{2} $.
$ (2\sqrt{2}+3)^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 8 + 12\sqrt{2} + 9 = 17 + 12\sqrt{2} $.
Сложим выражения в числителе:
$ (17 - 12\sqrt{2}) + (17 + 12\sqrt{2}) = 17 - 12\sqrt{2} + 17 + 12\sqrt{2} = 34 $.
Тогда значение всего выражения равно $ \frac{34}{-1} = -34 $.
Число -34 является целым, а значит и рациональным.
Ответ: рациональное число.

г) $ 2 - \sqrt{3} + \frac{8}{2+\sqrt{3}} $
Упростим дробь, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ 2-\sqrt{3} $:
$ \frac{8}{2+\sqrt{3}} = \frac{8(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{8(2-\sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{8(2-\sqrt{3})}{4-3} = \frac{8(2-\sqrt{3})}{1} = 16 - 8\sqrt{3} $.
Подставим результат в исходное выражение:
$ 2 - \sqrt{3} + (16 - 8\sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 16 - 8\sqrt{3} = (2+16) + (-\sqrt{3}-8\sqrt{3}) = 18 - 9\sqrt{3} $.
Так как $ \sqrt{3} $ является иррациональным числом, то и все выражение $ 18 - 9\sqrt{3} $ является иррациональным.
Ответ: иррациональное число.

д) $ \sqrt{(2-3\sqrt{2})^2} - 2\sqrt{2} $
Используем свойство квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $.
$ \sqrt{(2-3\sqrt{2})^2} = |2-3\sqrt{2}| $.
Определим знак выражения под модулем. Сравним $ 2 $ и $ 3\sqrt{2} $. Возведем оба числа в квадрат: $ 2^2 = 4 $ и $ (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 $.
Так как $ 4 < 18 $, то $ 2 < 3\sqrt{2} $, следовательно, $ 2 - 3\sqrt{2} < 0 $.
По определению модуля, $ |2-3\sqrt{2}| = -(2-3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 2 $.
Подставим это в исходное выражение:
$ (3\sqrt{2} - 2) - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2 = \sqrt{2} - 2 $.
Так как $ \sqrt{2} $ является иррациональным числом, то и разность $ \sqrt{2}-2 $ является иррациональным числом.
Ответ: иррациональное число.

е) $ 2\sqrt{5} - \sqrt{(1-2\sqrt{5})^2} $
Используем свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $.
$ \sqrt{(1-2\sqrt{5})^2} = |1-2\sqrt{5}| $.
Определим знак выражения под модулем. Сравним $ 1 $ и $ 2\sqrt{5} $. Возведем в квадрат: $ 1^2 = 1 $ и $ (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20 $.
Так как $ 1 < 20 $, то $ 1 < 2\sqrt{5} $, следовательно, $ 1 - 2\sqrt{5} < 0 $.
По определению модуля, $ |1-2\sqrt{5}| = -(1-2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 1 $.
Подставим это в исходное выражение:
$ 2\sqrt{5} - (2\sqrt{5} - 1) = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 1 = 1 $.
Число 1 является целым, а значит и рациональным.
Ответ: рациональное число.

РАССУЖДАЕМ (31–32)

31 Постройте график функции $y=\frac{\sqrt{2}}{x}$.

а) Проходит ли график этой функции хотя бы через одну точку, обе координаты которой — рациональные числа?

б) Найдите координаты точек графика, у которых абсцисса и ордината равны.

Данная функция $y = \frac{\sqrt{2}}{x}$ является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = \sqrt{2}$. Графиком этой функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k = \sqrt{2} > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика служат оси координат $Ox$ и $Oy$.

Для более точного построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

На основе этих точек и общего вида гиперболы можно построить ее график.

а) Проходит ли график этой функции хотя бы через одну точку, обе координаты которой — рациональные числа?

Предположим, что существует точка $(x_0, y_0)$ на графике функции, у которой обе координаты являются рациональными числами. То есть $x_0 \in \mathbb{Q}$, $y_0 \in \mathbb{Q}$, и при этом $x_0 \neq 0$. Для этой точки должно выполняться равенство $y_0 = \frac{\sqrt{2}}{x_0}$. Умножим обе части равенства на $x_0$: $x_0 \cdot y_0 = \sqrt{2}$. С левой стороны уравнения стоит произведение двух рациональных чисел ($x_0$ и $y_0$). Произведение рациональных чисел всегда является рациональным числом. С правой стороны уравнения стоит число $\sqrt{2}$, которое является иррациональным. Мы получили противоречие: рациональное число не может быть равно иррациональному. Следовательно, наше начальное предположение было неверным. На графике функции $y=\frac{\sqrt{2}}{x}$ нет ни одной точки с двумя рациональными координатами.
Ответ: нет, не проходит.

б) Найдите координаты точек графика, у которых абсцисса и ордината равны.

Условие равенства абсциссы и ординаты означает, что $x = y$. Подставим это условие в уравнение функции:

Так как функция не определена при $x=0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x$, не опасаясь деления на ноль:

Это уравнение имеет два решения для $x$:

Поскольку $y=x$, то ординаты в этих точках равны соответствующим абсциссам. Таким образом, мы нашли две точки, удовлетворяющие условию: $(\sqrt[4]{2}, \sqrt[4]{2})$ и $(-\sqrt[4]{2}, -\sqrt[4]{2})$.
Ответ: $(\sqrt[4]{2}, \sqrt[4]{2})$ и $(-\sqrt[4]{2}, -\sqrt[4]{2})$.

32 Постройте график функции $y = -\frac{1}{\sqrt{2x}}$.

a) Проходит ли график этой функции хотя бы через одну точку, обе координаты которой являются рациональными числами?

б) Найдите координаты точек графика, у которых абсцисса и ордината являются противоположными числами.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{\sqrt{2x}}$ исследуем ее основные свойства.

1. Область определения. Выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным: $2x > 0$, следовательно, $x > 0$. Область определения функции $D(y) = (0, +\infty)$.
2. Область значений. Так как $\sqrt{2x} > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y = -\frac{1}{\sqrt{2x}} < 0$. Область значений функции $E(y) = (-\infty, 0)$.
3. Поведение на границах и асимптоты.
   • При $x \to 0^+$, знаменатель $\sqrt{2x} \to 0^+$, значит $y \to -\infty$. Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.
   • При $x \to +\infty$, знаменатель $\sqrt{2x} \to +\infty$, значит $y \to 0$. Прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой.
4. Ключевые точки. Вычислим координаты нескольких точек графика:

   $x$	1/8	1/2	2	8
   $y$	-2	-1	-1/2	-1/4

График функции — это возрастающая кривая, расположенная в IV координатной четверти, которая асимптотически приближается к осям координат.

а)

Допустим, что на графике существует точка $(x_0, y_0)$, обе координаты которой являются рациональными числами. Это значит, что $x_0 \in \mathbb{Q}$ и $y_0 \in \mathbb{Q}$. Для этой точки должно выполняться равенство $y_0 = -\frac{1}{\sqrt{2x_0}}$.

Из этого равенства выразим $\sqrt{2x_0}$: $\sqrt{2x_0} = -\frac{1}{y_0}$.

Поскольку $y_0$ — рациональное число (причем $y_0 \neq 0$), то и величина $q = -\frac{1}{y_0}$ также является рациональным числом, причем положительным ($q \in \mathbb{Q}, q > 0$).

Таким образом, мы имеем равенство $\sqrt{2x_0} = q$. Чтобы это было возможно, необходимо, чтобы подкоренное выражение $2x_0$ было полным квадратом рационального числа $q$. То есть, $2x_0 = q^2$, откуда $x_0 = \frac{q^2}{2}$.

Мы можем выбрать любое положительное рациональное число $q$ и по нему найти пару рациональных координат $(x_0, y_0)$.

Например, пусть $q=2$. Тогда ордината $y_0 = -\frac{1}{q} = -\frac{1}{2}$. Это рациональное число.

Соответствующая абсцисса $x_0 = \frac{q^2}{2} = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Это также рациональное число.

Значит, точка с координатами $(2, -1/2)$ принадлежит графику функции и обе её координаты рациональны.

Ответ: Да, проходит. Например, через точку $(2, -1/2)$.

б)

Требуется найти точки на графике, у которых абсцисса и ордината являются противоположными числами. Это условие можно записать как $y = -x$.

Для нахождения таких точек решим систему уравнений:

$y = -\frac{1}{\sqrt{2x}}$
$y = -x$

Приравняем правые части уравнений:

$-x = -\frac{1}{\sqrt{2x}}$

Поскольку из области определения $x > 0$, мы можем умножить обе части на $-1$ и на $\sqrt{2x}$:

$x = \frac{1}{\sqrt{2x}}$

$x\sqrt{2x} = 1$

Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(x\sqrt{2x})^2 = 1^2$

$x^2 \cdot (2x) = 1$

$2x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{2}$

Извлекаем кубический корень, чтобы найти $x$:

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{4}$:

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

Теперь найдем соответствующую ординату $y$:

$y = -x = -\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

Следовательно, искомая точка имеет координаты $\left(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, -\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)$.

Ответ: $\left(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, -\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)$.

33 АНАЛИЗИРУЕМ

Заполните таблицы сложения, вычитания, умножения для множества, состоящего из трёх чисел: $-1$; $0$; $1$. 1. В каждом случае укажите, замкнуто ли относительно этой операции данное множество.

Таблица сложения:

Оператор: $+$

Заголовки столбцов: $-1$, $0$, $1$

Заголовки строк: $-1$, $0$, $1$

Таблица вычитания:

Оператор: $-$

Заголовки столбцов: $-1$, $0$, $1$

Заголовки строк: $-1$, $0$, $1$

Таблица умножения:

Оператор: $\times$

Заголовки столбцов: $-1$, $0$, $1$

Заголовки строк: $-1$, $0$, $1$

Множество называется замкнутым относительно некоторой бинарной операции, если результат этой операции, примененный к любым двум элементам множества (не обязательно различным), также является элементом этого множества. Рассмотрим множество $M = \{-1, 0, 1\}$ и операции сложения, вычитания и умножения.

Сложение

Заполним таблицу сложения для элементов множества $M$.

Чтобы множество было замкнуто относительно сложения, все результаты в таблице должны принадлежать множеству $M = \{-1, 0, 1\}$. Однако, в таблице есть значения, которые не входят в это множество. Например:

$(-1) + (-1) = -2$, где $-2 \notin M$

$1 + 1 = 2$, где $2 \notin M$

Следовательно, множество $M$ не является замкнутым относительно операции сложения.

Ответ: Множество не замкнуто относительно сложения.

Вычитание

Заполним таблицу вычитания для элементов множества $M$.

В таблице результатов вычитания также присутствуют значения, не принадлежащие множеству $M$. Например:

$(-1) - 1 = -2$, где $-2 \notin M$

$1 - (-1) = 2$, где $2 \notin M$

Следовательно, множество $M$ не является замкнутым относительно операции вычитания.

Ответ: Множество не замкнуто относительно вычитания.

Умножение

Заполним таблицу умножения для элементов множества $M$.

Проанализировав таблицу умножения, мы видим, что все результаты операций принадлежат исходному множеству $M = \{-1, 0, 1\}$. Никаких других чисел в результатах нет.

Следовательно, множество $M$ является замкнутым относительно операции умножения.

Ответ: Множество замкнуто относительно умножения.