Страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

23 Определите знак числа:

а) $2\sqrt{5} - 3$;

б) $1 - \sqrt{3}$;

в) $3\sqrt{2} - 5$;

г) $4 - 2\sqrt{3}$;

д) $2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}$;

е) $2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}$.

а) Чтобы определить знак числа $2\sqrt{5} - 3$, сравним уменьшаемое $2\sqrt{5}$ и вычитаемое $3$. Поскольку оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства между числами будет таким же, как и между их квадратами.
Возведем в квадрат первое число: $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
Возведем в квадрат второе число: $3^2 = 9$.
Так как $20 > 9$, то $2\sqrt{5} > 3$.
Поскольку уменьшаемое больше вычитаемого, разность является положительным числом.
Ответ: знак плюс (число положительное).

б) Чтобы определить знак числа $1 - \sqrt{3}$, сравним уменьшаемое $1$ и вычитаемое $\sqrt{3}$. Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты.
Возведем в квадрат первое число: $1^2 = 1$.
Возведем в квадрат второе число: $(\sqrt{3})^2 = 3$.
Так как $1 < 3$, то $1 < \sqrt{3}$.
Поскольку уменьшаемое меньше вычитаемого, разность является отрицательным числом.
Ответ: знак минус (число отрицательное).

в) Чтобы определить знак числа $3\sqrt{2} - 5$, сравним уменьшаемое $3\sqrt{2}$ и вычитаемое $5$. Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты.
Возведем в квадрат первое число: $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
Возведем в квадрат второе число: $5^2 = 25$.
Так как $18 < 25$, то $3\sqrt{2} < 5$.
Поскольку уменьшаемое меньше вычитаемого, разность является отрицательным числом.
Ответ: знак минус (число отрицательное).

г) Чтобы определить знак числа $4 - 2\sqrt{3}$, сравним уменьшаемое $4$ и вычитаемое $2\sqrt{3}$. Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты.
Возведем в квадрат первое число: $4^2 = 16$.
Возведем в квадрат второе число: $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.
Так как $16 > 12$, то $4 > 2\sqrt{3}$.
Поскольку уменьшаемое больше вычитаемого, разность является положительным числом.
Ответ: знак плюс (число положительное).

д) Чтобы определить знак числа $2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}$, сравним уменьшаемое $2\sqrt{5}$ и вычитаемое $3\sqrt{2}$. Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты.
Возведем в квадрат первое число: $(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
Возведем в квадрат второе число: $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
Так как $20 > 18$, то $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$.
Поскольку уменьшаемое больше вычитаемого, разность является положительным числом.
Ответ: знак плюс (число положительное).

е) Чтобы определить знак числа $2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}$, сравним уменьшаемое $2\sqrt{15}$ и вычитаемое $3\sqrt{7}$. Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты.
Возведем в квадрат первое число: $(2\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 15 = 60$.
Возведем в квадрат второе число: $(3\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$.
Так как $60 < 63$, то $2\sqrt{15} < 3\sqrt{7}$.
Поскольку уменьшаемое меньше вычитаемого, разность является отрицательным числом.
Ответ: знак минус (число отрицательное).

24 РАССУЖДАЕМ Если при выполнении какой-нибудь арифметической операции с любыми двумя числами из некоторого множества получается число из этого же множества, то говорят, что данное множество чисел замкнуто относительно этой операции. Например, множество натуральных чисел $N$ замкнуто относительно сложения и не замкнуто относительно вычитания.

Заполните таблицу, используя знак «+», если множество замкнуто относительно указанной операции, и знак «–», если оно не замкнуто:

Почему говорят, что арифметика целых чисел «богаче», чем арифметика натуральных чисел? арифметика рациональных чисел «богаче», чем арифметика целых чисел?

Заполните таблицу

Множество называется замкнутым относительно некоторой операции, если результат применения этой операции к любым двум элементам множества также принадлежит этому множеству. Ниже представлена таблица, заполненная знаками «+» (множество замкнуто) и «−» (множество не замкнуто) для указанных множеств и операций.

• Множество натуральных чисел $N=\{1, 2, 3, ...\}$ замкнуто относительно сложения и умножения, но не замкнуто относительно вычитания (например, $2-7 = -5 \notin N$) и деления (например, $3 \div 2 = 1.5 \notin N$).
• Множество целых чисел $Z=\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. Оно не замкнуто относительно деления (например, $5 \div 2 = 2.5 \notin Z$).
• Множество рациональных чисел $Q$ (числа вида $m/n$, где $m \in Z, n \in N$) замкнуто относительно всех четырех арифметических операций (при делении делитель не должен быть равен нулю).
• Множество действительных чисел $R$ (все рациональные и иррациональные числа) также замкнуто относительно всех четырех арифметических операций (при делении делитель не должен быть равен нулю).

Ответ:

Почему говорят, что арифметика целых чисел «богаче», чем арифметика натуральных чисел? арифметика рациональных чисел «богаче», чем арифметика целых чисел?

Понятие «богатства» арифметики связано с количеством операций, которые можно выполнять, не выходя за пределы данного числового множества. Чем больше операций, относительно которых множество замкнуто, тем «богаче» его арифметика.

Арифметика целых чисел ($Z$) «богаче» арифметики натуральных чисел ($N$), потому что множество $Z$ включает в себя отрицательные числа и ноль. Это расширение позволяет выполнять операцию вычитания для любых двух чисел и получать результат, который всегда будет принадлежать множеству $Z$. Например, уравнение $x + 5 = 3$ не имеет решения в натуральных числах, но имеет решение $x = -2$ в целых числах. Таким образом, переход от $N$ к $Z$ «обогащает» арифметику, делая ее замкнутой относительно вычитания.

Арифметика рациональных чисел ($Q$) «богаче» арифметики целых чисел ($Z$), потому что множество $Q$ включает в себя дроби. Это позволяет выполнять операцию деления для любых двух чисел (кроме деления на ноль) и получать результат, который всегда будет принадлежать множеству $Q$. Например, уравнение $2x = 3$ не имеет решения в целых числах, но имеет решение $x = 3/2$ в рациональных числах. Переход от $Z$ к $Q$ «обогащает» арифметику, делая ее замкнутой относительно деления.

Ответ: Арифметика целых чисел «богаче» арифметики натуральных чисел, потому что множество целых чисел, в отличие от натуральных, замкнуто относительно операции вычитания. Арифметика рациональных чисел «богаче» арифметики целых чисел, потому что множество рациональных чисел, в отличие от целых, замкнуто относительно операции деления (на ненулевое число).

ДОКАЗЫВАЕМ (25–26)

25 Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел (кроме случая деления на 0) есть число рациональное.

Образец. Докажем, что сумма двух рациональных чисел есть число рациональное. Возьмём два рациональных числа $\frac{p}{q}$ и $\frac{r}{s}$, где $p, q, r, s$ — целые числа, и найдём их сумму:

$\frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps + qr}{qs}$

Числа $ps + qr$ и $qs$ — целые (объясните почему), следовательно, число $\frac{ps + qr}{qs}$, которое является их частным, есть число рациональное.

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число (или, в более общем виде, $n$ — ненулевое целое число).

Возьмём два произвольных рациональных числа $a$ и $b$. Их можно представить в виде дробей: $a = \frac{p}{q}$ и $b = \frac{r}{s}$, где $p, q, r, s$ — целые числа, причём $q \ne 0$ и $s \ne 0$.

Сумма

Найдём сумму двух рациональных чисел $a$ и $b$: $a + b = \frac{p}{q} + \frac{r}{s}$

Приводим дроби к общему знаменателю $qs$: $\frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps}{qs} + \frac{qr}{qs} = \frac{ps + qr}{qs}$

Рассмотрим полученную дробь. Числитель $ps + qr$ является целым числом, так как произведение целых чисел ($ps$ и $qr$) является целым числом, и сумма целых чисел также является целым числом. Знаменатель $qs$ является целым числом, так как это произведение двух целых чисел. Кроме того, поскольку $q \ne 0$ и $s \ne 0$, их произведение $qs \ne 0$.

Таким образом, сумма $\frac{ps + qr}{qs}$ является отношением целого числа к ненулевому целому числу, а значит, по определению, является рациональным числом.

Ответ: Сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.

Разность

Найдём разность двух рациональных чисел $a$ и $b$: $a - b = \frac{p}{q} - \frac{r}{s}$

Приводим дроби к общему знаменателю $qs$: $\frac{p}{q} - \frac{r}{s} = \frac{ps}{qs} - \frac{qr}{qs} = \frac{ps - qr}{qs}$

Числитель $ps - qr$ является целым числом, так как произведения $ps$ и $qr$ — целые, и их разность также целая. Знаменатель $qs$ — ненулевое целое число, как было показано ранее.

Следовательно, разность $\frac{ps - qr}{qs}$ является рациональным числом.

Ответ: Разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

Произведение

Найдём произведение двух рациональных чисел $a$ и $b$: $a \cdot b = \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{p \cdot r}{q \cdot s} = \frac{pr}{qs}$

Числитель $pr$ является целым числом, так как это произведение двух целых чисел. Знаменатель $qs$ — ненулевое целое число.

Следовательно, произведение $\frac{pr}{qs}$ является рациональным числом.

Ответ: Произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

Частное

Найдём частное двух рациональных чисел $a$ и $b$, при условии, что делитель $b$ не равен нулю ($b \ne 0$). Если $b = \frac{r}{s} \ne 0$, то это означает, что не только $s \ne 0$, но и $r \ne 0$.

$a : b = \frac{p}{q} : \frac{r}{s}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь: $\frac{p}{q} : \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \cdot \frac{s}{r} = \frac{ps}{qr}$

Рассмотрим полученную дробь. Числитель $ps$ является целым числом (произведение целых). Знаменатель $qr$ является целым числом (произведение целых). Так как $q \ne 0$ и $r \ne 0$, их произведение $qr \ne 0$.

Следовательно, частное $\frac{ps}{qr}$ является рациональным числом.

Ответ: Частное двух рациональных чисел (кроме случая деления на 0) является рациональным числом.