Страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

26 Докажите, что сумма, разность, произведение и частное рационального числа $b$ и иррационального числа $\beta$ есть число иррациональное.

Совет. Примените способ рассуждения от противного и воспользуйтесь результатами предыдущего упражнения.

Для доказательства всех утверждений мы будем использовать метод от противного. Основная идея заключается в том, чтобы предположить обратное (что результат операции является рациональным числом) и, используя свойства рациональных чисел, прийти к противоречию с исходным условием (что число $\beta$ иррационально).

Ключевым свойством, на которое мы будем опираться (упомянутое в совете как «результаты предыдущего упражнения»), является замкнутость множества рациональных чисел относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Это означает, что сумма, разность, произведение и частное двух любых рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Пусть $b$ — рациональное число, а $\beta$ — иррациональное число.

Сумма

Докажем, что сумма $b + \beta$ является иррациональным числом.

Предположим противное: пусть сумма $b + \beta$ является рациональным числом. Обозначим эту сумму буквой $c$. Тогда:

$b + \beta = c$, где $c$ — рациональное число.

Выразим из этого равенства иррациональное число $\beta$:

$\beta = c - b$

В правой части этого равенства находится разность двух рациональных чисел ($c$ и $b$). Поскольку множество рациональных чисел замкнуто относительно вычитания, результат $c - b$ также является рациональным числом. Это означает, что $\beta$ — рациональное число. Но это прямо противоречит нашему исходному условию, согласно которому $\beta$ — число иррациональное. Следовательно, наше первоначальное предположение было ложным.

Ответ: Сумма рационального и иррационального чисел есть число иррациональное.

Разность

Докажем, что разность $b - \beta$ (и $\beta - b$) является иррациональным числом.

Предположим противное: пусть разность $b - \beta$ является рациональным числом. Обозначим эту разность буквой $d$. Тогда:

$b - \beta = d$, где $d$ — рациональное число.

Выразим из этого равенства $\beta$:

$\beta = b - d$

В правой части равенства находится разность двух рациональных чисел ($b$ и $d$), результат которой также является рациональным числом. Таким образом, мы получаем, что $\beta$ — рациональное число, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: Разность рационального и иррационального чисел есть число иррациональное.

Произведение

Докажем, что произведение $b \cdot \beta$ является иррациональным числом, при условии что $b \neq 0$. (Если $b = 0$, то $0 \cdot \beta = 0$, что является рациональным числом).

Пусть $b \neq 0$. Предположим противное: пусть произведение $b \cdot \beta$ является рациональным числом. Обозначим его буквой $f$. Тогда:

$b \cdot \beta = f$, где $f$ — рациональное число.

Поскольку $b \neq 0$, мы можем разделить обе части равенства на $b$:

$\beta = \frac{f}{b}$

В правой части находится частное двух рациональных чисел ($f$ и $b$), которое, в силу замкнутости множества рациональных чисел относительно деления (на ненулевое число), является рациональным числом. Это означает, что $\beta$ — рациональное число, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение было ложным.

Ответ: Произведение ненулевого рационального числа и иррационального числа есть число иррациональное.

Частное

Докажем, что частное от деления рационального числа $b$ и иррационального числа $\beta$ является иррациональным числом, при условии что $b \neq 0$. (Число $\beta$ не может быть нулем, так как все иррациональные числа ненулевые).

Рассмотрим два возможных случая: $\frac{\beta}{b}$ и $\frac{b}{\beta}$.

1. Частное $\frac{\beta}{b}$. Предположим противное: пусть $\frac{\beta}{b} = g$, где $g$ — рациональное число. Тогда $\beta = g \cdot b$. Произведение двух рациональных чисел ($g$ и $b$) есть число рациональное. Следовательно, $\beta$ — рациональное число, что приводит к противоречию.

2. Частное $\frac{b}{\beta}$. Предположим противное: пусть $\frac{b}{\beta} = h$, где $h$ — рациональное число. Поскольку $b \neq 0$, то и $h \neq 0$. Выразим $\beta$: $h \cdot \beta = b$, откуда $\beta = \frac{b}{h}$. Частное двух рациональных чисел ($b$ и $h$, где $h \neq 0$) есть число рациональное. Следовательно, $\beta$ — рациональное число, что снова приводит к противоречию.

Оба случая приводят к противоречию, значит, наше исходное предположение было неверным.

Ответ: Частное ненулевого рационального числа и иррационального числа есть число иррациональное.

27 Приведите примеры, показывающие, что сумма, разность, произведение и частное двух иррациональных чисел могут быть как иррациональным, так и рациональным числом. Замкнуто ли множество иррациональных чисел относительно какой-либо арифметической операции?

Для доказательства приведем примеры для каждой из четырех основных арифметических операций, используя известные иррациональные числа, такие как $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.

Сумма

• Сумма — иррациональное число: Возьмем два иррациональных числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Их сумма $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ также является иррациональным числом. Другой пример: $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ — иррациональное число.
• Сумма — рациональное число: Возьмем два иррациональных числа $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$. Их сумма $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$. Число 0 является рациональным.

Ответ: Сумма двух иррациональных чисел может быть как иррациональным (например, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$), так и рациональным числом (например, $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$).

Разность

• Разность — иррациональное число: Возьмем два иррациональных числа $2\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$. Их разность $2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ является иррациональным числом.
• Разность — рациональное число: Возьмем два одинаковых иррациональных числа, например $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$. Их разность $\sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$. Число 0 является рациональным.

Ответ: Разность двух иррациональных чисел может быть как иррациональным (например, $2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$), так и рациональным числом (например, $\sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$).

Произведение

• Произведение — иррациональное число: Возьмем два иррациональных числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Их произведение $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ является иррациональным числом.
• Произведение — рациональное число: Возьмем два одинаковых иррациональных числа, например $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$. Их произведение $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$. Число 2 является рациональным.

Ответ: Произведение двух иррациональных чисел может быть как иррациональным (например, $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$), так и рациональным числом (например, $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$).

Частное

• Частное — иррациональное число: Возьмем два иррациональных числа $\sqrt{6}$ и $\sqrt{2}$. Их частное $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$ является иррациональным числом.
• Частное — рациональное число: Возьмем два одинаковых иррациональных числа, например $\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$. Их частное $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1$. Число 1 является рациональным.

Ответ: Частное двух иррациональных чисел может быть как иррациональным (например, $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$), так и рациональным числом (например, $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1$).

Замкнуто ли множество иррациональных чисел относительно какой-либо арифметической операции?
Множество называется замкнутым относительно некоторой операции, если результат применения этой операции к любым элементам множества всегда является элементом этого же множества.
Как показывают приведенные выше примеры, для каждой из четырех основных арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) существуют пары иррациональных чисел, результат операции над которыми является рациональным числом. Например:

• $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ (рациональное)
• $\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ (рациональное)
• $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ (рациональное)
• $\sqrt{2} / \sqrt{2} = 1$ (рациональное)

Поскольку результат операции не всегда является иррациональным числом, это означает, что множество иррациональных чисел не замкнуто ни относительно сложения, ни относительно вычитания, ни относительно умножения, ни относительно деления.
Ответ: Нет, множество иррациональных чисел не является замкнутым ни относительно одной из четырех основных арифметических операций.

28 РАССУЖДАЕМ Сравните:

а) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$,

$-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{5}$;

б) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$,

$-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}};

в) $1 - \sqrt{3}$ и $1 - \sqrt{5}$,

$\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ и $\frac{1}{1 - \sqrt{5}};

г) $\sqrt{3} - 1$ и $\sqrt{5} - 1$,

$\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ и $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$.

а) Сначала сравним $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для неотрицательных чисел, то есть, если $a < b$, то $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Поскольку $3 < 5$, то и $\sqrt{3} < \sqrt{5}$.
Далее сравним $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{5}$. Исходя из того, что $\sqrt{3} < \sqrt{5}$, при умножении обеих частей этого неравенства на $-1$ знак неравенства изменится на противоположный. Следовательно, $-\sqrt{3} > -\sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{3} < \sqrt{5}$; $-\sqrt{3} > -\sqrt{5}$.

б) Сначала сравним $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$. Из пункта (а) мы знаем, что $0 < \sqrt{3} < \sqrt{5}$. Для положительных чисел, чем больше число, тем меньше его обратная величина (функция $y=1/x$ убывает на интервале $(0, +\infty)$). Следовательно, $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Далее сравним $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}}$. Умножим неравенство $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$ на $-1$. Знак неравенства изменится на противоположный, и мы получим $-\frac{1}{\sqrt{3}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$; $-\frac{1}{\sqrt{3}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$.

в) Сначала сравним $1 - \sqrt{3}$ и $1 - \sqrt{5}$. Мы знаем, что $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Умножение этого неравенства на $-1$ меняет его знак: $-\sqrt{3} > -\sqrt{5}$. Прибавление $1$ к обеим частям не меняет знака неравенства: $1 - \sqrt{3} > 1 - \sqrt{5}$.
Далее сравним $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ и $\frac{1}{1 - \sqrt{5}}$. Оба знаменателя отрицательны, так как $\sqrt{3} \approx 1.73 > 1$ и $\sqrt{5} \approx 2.23 > 1$. Мы установили, что $1 - \sqrt{3} > 1 - \sqrt{5}$. Для двух отрицательных чисел, чем больше число, тем меньше его обратная величина (функция $y=1/x$ убывает на интервале $(-\infty, 0)$). Таким образом, $\frac{1}{1 - \sqrt{3}} < \frac{1}{1 - \sqrt{5}}$.
Ответ: $1 - \sqrt{3} > 1 - \sqrt{5}$; $\frac{1}{1 - \sqrt{3}} < \frac{1}{1 - \sqrt{5}}$.

г) Сначала сравним $\sqrt{3} - 1$ и $\sqrt{5} - 1$. Так как $\sqrt{3} < \sqrt{5}$, то вычитание $1$ из обеих частей неравенства не изменит его знака: $\sqrt{3} - 1 < \sqrt{5} - 1$.
Далее сравним $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ и $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$. Оба знаменателя положительны, так как $\sqrt{3} > 1$ и $\sqrt{5} > 1$. Мы установили, что $\sqrt{3} - 1 < \sqrt{5} - 1$. Для положительных чисел, чем меньше число, тем больше его обратная величина. Следовательно, $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} > \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$.
Ответ: $\sqrt{3} - 1 < \sqrt{5} - 1$; $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} > \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$.

29 1) Какое из равенств верно:

$|2 - \sqrt{5}| = 2 - \sqrt{5}$ или $|2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2?$

2) Запишите без знака модуля:

а) $|3 - \sqrt{10}|$;

б) $|\sqrt{18} - 4|$;

в) $|\pi^2 - 10|.$

3) Упростите, используя равенство $\sqrt{a^2} = |a|$:

а) $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}$;

б) $\sqrt{(\sqrt{20} - 4)^2}$;

в) $\sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{15})^2}$;

г) $\sqrt{(3 - \pi)^2}.$