Страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

43 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Запишите с помощью букв следующие свойства неравенств для знаков $,>, \leqslant, \geqslant$:

a) о прибавлении к обеим частям неравенства одного и того же числа;

б) об умножении обеих частей неравенства на одно и то же не равное нулю число.

а) о прибавлении к обеим частям неравенства одного и того же числа;

Это свойство гласит, что если к обеим частям верного неравенства прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом не меняется.

Пусть $a$, $b$ и $c$ — произвольные числа. Сформулируем свойство для каждого знака:

• Для знака >: если $a > b$, то $a + c > b + c$.

• Для знака ≤: если $a \le b$, то $a + c \le b + c$.

• Для знака ≥: если $a \ge b$, то $a + c \ge b + c$.

Ответ: Если $a > b$, то $a + c > b + c$. Если $a \le b$, то $a + c \le b + c$. Если $a \ge b$, то $a + c \ge b + c$.

б) об умножении обеих частей неравенства на одно и то же не равное нулю число.

Это свойство зависит от знака числа, на которое умножаются обе части неравенства.

Пусть $a$, $b$ и $c$ — произвольные числа, причем $c \ne 0$.

Случай 1: Умножение на положительное число ($c > 0$)

Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

• Для знака >: если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

• Для знака ≤: если $a \le b$ и $c > 0$, то $ac \le bc$.

• Для знака ≥: если $a \ge b$ и $c > 0$, то $ac \ge bc$.

Случай 2: Умножение на отрицательное число ($c < 0$)

Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный (> на <, < на >, ≥ на ≤, ≤ на ≥).

• Для знака >: если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

• Для знака ≤: если $a \le b$ и $c < 0$, то $ac \ge bc$.

• Для знака ≥: если $a \ge b$ и $c < 0$, то $ac \le bc$.

Ответ: Если $c > 0$, то: $a > b \implies ac > bc$; $a \le b \implies ac \le bc$; $a \ge b \implies ac \ge bc$.
Если $c < 0$, то: $a > b \implies ac < bc$; $a \le b \implies ac \ge bc$; $a \ge b \implies ac \le bc$.

44 Известно, что $a > b$. Какое неравенство получится, если:

а) к обеим частям данного неравенства прибавить число: 10; -17; $m$; $b + c$; $-b$;

б) из обеих частей данного неравенства вычесть число: 6; -9; $q$; $b - c$; $a$?

а) к обеим частям данного неравенства прибавить число: 10; -17; m; b + c; -b;

Воспользуемся основным свойством числовых неравенств: если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число или выражение, то знак неравенства не изменится. Исходное неравенство: $a > b$.

Рассмотрим каждый случай по отдельности:
• Прибавим к обеим частям число 10:
$a + 10 > b + 10$.
• Прибавим к обеим частям число -17:
$a + (-17) > b + (-17)$, что равносильно $a - 17 > b - 17$.
• Прибавим к обеим частям число $m$:
$a + m > b + m$.
• Прибавим к обеим частям выражение $b + c$:
$a + (b + c) > b + (b + c)$, что после упрощения правой части дает $a + b + c > 2b + c$.
• Прибавим к обеим частям число $-b$:
$a + (-b) > b + (-b)$, что после упрощения правой части дает $a - b > 0$.

Ответ: получатся неравенства $a + 10 > b + 10$; $a - 17 > b - 17$; $a + m > b + m$; $a + b + c > 2b + c$; $a - b > 0$.

б) из обеих частей данного неравенства вычесть число: 6; -9; q; b − c; a?

Аналогично, воспользуемся свойством, что при вычитании одного и того же числа или выражения из обеих частей верного неравенства знак неравенства сохраняется. Исходное неравенство: $a > b$.

Рассмотрим каждый случай:
• Вычтем из обеих частей число 6:
$a - 6 > b - 6$.
• Вычтем из обеих частей число -9:
$a - (-9) > b - (-9)$, что равносильно $a + 9 > b + 9$.
• Вычтем из обеих частей число $q$:
$a - q > b - q$.
• Вычтем из обеих частей выражение $b - c$:
$a - (b - c) > b - (b - c)$. Раскрыв скобки, получим $a - b + c > b - b + c$, что после упрощения правой части дает $a - b + c > c$.
• Вычтем из обеих частей число $a$:
$a - a > b - a$, что после упрощения левой части дает $0 > b - a$.

Ответ: получатся неравенства $a - 6 > b - 6$; $a + 9 > b + 9$; $a - q > b - q$; $a - b + c > c$; $0 > b - a$.

45 Известно, что $a + 8 \leq b + 8$. Объясните, почему верно неравенство:

а) $a \leq b$;

б) $a + 6 \leq b + 6$;

в) $a - 1 \leq b - 1$;

г) $a - b \leq 0$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать основное свойство числовых неравенств: если к обеим частям верного неравенства прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Исходное неравенство, данное в условии: $a + 8 \le b + 8$.

а) Чтобы доказать верность неравенства $a \le b$, необходимо из обеих частей исходного неравенства $a + 8 \le b + 8$ вычесть число 8. Согласно свойству неравенств, это преобразование является равносильным.

$a + 8 - 8 \le b + 8 - 8$

Выполнив вычитание, получаем:

$a \le b$

Таким образом, неравенство $a \le b$ является верным.

Ответ: Неравенство $a \le b$ верно, так как оно получено вычитанием одного и того же числа (8) из обеих частей исходного верного неравенства.

б) Чтобы доказать верность неравенства $a + 6 \le b + 6$, можно исходить из доказанного в пункте а) неравенства $a \le b$. Прибавим к обеим его частям число 6.

$a + 6 \le b + 6$

Так как мы прибавили одно и то же число к обеим частям верного неравенства, полученное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство $a + 6 \le b + 6$ верно, так как оно получено прибавлением одного и того же числа (6) к обеим частям верного неравенства $a \le b$.

в) Для доказательства неравенства $a - 1 \le b - 1$ снова воспользуемся верным неравенством $a \le b$. Вычтем из обеих его частей число 1.

$a - 1 \le b - 1$

Поскольку из обеих частей верного неравенства было вычтено одно и то же число, полученное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство $a - 1 \le b - 1$ верно, так как оно получено вычитанием одного и того же числа (1) из обеих частей верного неравенства $a \le b$.

г) Чтобы доказать верность неравенства $a - b \le 0$, обратимся к доказанному неравенству $a \le b$. Вычтем из обеих частей этого неравенства переменную $b$. Эта операция равносильна переносу слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

$a - b \le b - b$

Упростив правую часть, получаем:

$a - b \le 0$

Следовательно, данное неравенство верно.

Ответ: Неравенство $a - b \le 0$ верно, так как оно получено путем переноса слагаемого $b$ из правой части верного неравенства $a \le b$ в левую.

46 Запишите несколько неравенств, которые можно получить из неравенства $x + y - 3 > z + 5$ переносом слагаемых из одной части в другую.

Основное свойство, используемое для решения этой задачи, заключается в том, что любой член неравенства можно перенести из одной его части в другую, изменив при этом его знак на противоположный. Знак самого неравенства (в данном случае `>`) при этом не меняется.

Исходное неравенство: $x + y - 3 > z + 5$

Ниже приведено несколько примеров неравенств, полученных путем переноса слагаемых.

1. Перенос всех переменных в левую часть, а констант — в правую.

Чтобы собрать все переменные слева, перенесем слагаемое $z$ из правой части в левую со знаком минус. Чтобы собрать все константы справа, перенесем слагаемое $-3$ из левой части в правую со знаком плюс.

$x + y - z > 5 + 3$

После упрощения правой части получаем:

$x + y - z > 8$

Ответ: $x + y - z > 8$

2. Перенос всех слагаемых в левую часть.

Перенесем слагаемые $z$ и $5$ из правой части в левую, изменив их знаки на противоположные. В правой части останется ноль.

$x + y - 3 - z - 5 > 0$

Сложим числовые слагаемые в левой части ($-3 - 5 = -8$):

$x + y - z - 8 > 0$

Ответ: $x + y - z - 8 > 0$

3. Перенос только числовых слагаемых.

Оставим все переменные на своих местах и перенесем только число $-3$ из левой части в правую.

$x + y > z + 5 + 3$

Упростим правую часть:

$x + y > z + 8$

Ответ: $x + y > z + 8$

4. Выражение одной переменной, например, $x$.

Оставим в левой части только $x$, а слагаемые $y$ и $-3$ перенесем в правую часть, изменив их знаки.

$x > z + 5 - y + 3$

Упростим правую часть, сложив числа ($5 + 3 = 8$):

$x > z - y + 8$

Ответ: $x > z - y + 8$

47 Дано неравенство $a + 1 - c < p - q - 6$. С помощью переноса слагаемых из одной части этого неравенства в другую получите неравенство, в котором:

а) все буквы собраны в левой части, а числа — в правой;

б) нет слагаемых со знаком «минус».

Исходное неравенство: $a + 1 - c < p - q - 6$.

Основное правило, которое мы будем использовать: при переносе слагаемого из одной части неравенства в другую его знак меняется на противоположный.

а) все буквы собраны в левой части, а числа — в правой;

Чтобы выполнить это условие, нам нужно перенести все буквенные слагаемые ($p$ и $-q$) из правой части в левую, а все числовые слагаемые ($+1$) из левой части в правую.

1. Перенесем $p$ и $-q$ из правой части в левую. Слагаемое $p$ станет $-p$, а слагаемое $-q$ станет $+q$.
Неравенство примет вид: $a + 1 - c - p + q < -6$.

2. Перенесем число $+1$ из левой части в правую. Оно станет $-1$.
Неравенство примет вид: $a - c - p + q < -6 - 1$.

3. Упростим правую часть:
$-6 - 1 = -7$.

В результате получаем неравенство, где все буквы находятся слева, а числа — справа.
Ответ: $a - c - p + q < -7$

б) нет слагаемых со знаком «минус».

Чтобы выполнить это условие, нам нужно перенести все слагаемые со знаком «минус» в противоположную часть неравенства, чтобы их знак изменился на «плюс».

В исходном неравенстве $a + 1 - c < p - q - 6$ у нас есть три слагаемых со знаком «минус»: $-c$, $-q$ и $-6$.

1. Перенесем $-c$ из левой части в правую. Оно станет $+c$.
Неравенство примет вид: $a + 1 < p - q - 6 + c$.

2. Перенесем $-q$ и $-6$ из правой части в левую. Они станут $+q$ и $+6$ соответственно.
Неравенство примет вид: $a + 1 + q + 6 < p + c$.

3. Сложим числовые слагаемые в левой части:
$1 + 6 = 7$.

В результате получаем неравенство, в котором нет слагаемых со знаком «минус».
Ответ: $a + q + 7 < p + c$

48 Известно, что $a < b$. Запишите верное неравенство, которое получится, если обе части данного неравенства:

а) умножить на 25; на -1; на $-\frac{1}{2}$;

б) разделить на 2; на -3; на $\frac{1}{9}$.

Для решения этой задачи используются свойства числовых неравенств. Основное правило гласит: если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если же обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Дано исходное неравенство: $a < b$.

а) Выполним умножение обеих частей неравенства.

• Умножение на 25.

  Так как число 25 положительное ($25 > 0$), знак неравенства $<$ сохраняется.

  $a \cdot 25 < b \cdot 25$

  Следовательно, $25a < 25b$.

• Умножение на -1.

  Так как число -1 отрицательное ($-1 < 0$), знак неравенства $<$ меняется на противоположный, то есть на $>$.

  $a \cdot (-1) > b \cdot (-1)$

  Следовательно, $-a > -b$.

• Умножение на $-\frac{1}{2}$.

  Так как число $-\frac{1}{2}$ отрицательное ($-\frac{1}{2} < 0$), знак неравенства $<$ меняется на противоположный, то есть на $>$.

  $a \cdot (-\frac{1}{2}) > b \cdot (-\frac{1}{2})$

  Следовательно, $-\frac{a}{2} > -\frac{b}{2}$.

Ответ: $25a < 25b$; $-a > -b$; $-\frac{a}{2} > -\frac{b}{2}$.

б) Выполним деление обеих частей неравенства.

• Деление на 2.

  Так как число 2 положительное ($2 > 0$), знак неравенства $<$ сохраняется.

  $\frac{a}{2} < \frac{b}{2}$

• Деление на -3.

  Так как число -3 отрицательное ($-3 < 0$), знак неравенства $<$ меняется на противоположный, то есть на $>$.

  $\frac{a}{-3} > \frac{b}{-3}$

  Следовательно, $-\frac{a}{3} > -\frac{b}{3}$.

• Деление на $\frac{1}{9}$.

  Так как число $\frac{1}{9}$ положительное ($\frac{1}{9} > 0$), знак неравенства $<$ сохраняется. Деление на дробь $\frac{1}{9}$ равносильно умножению на обратную ей дробь, то есть на 9.

  $a : \frac{1}{9} < b : \frac{1}{9}$

  $a \cdot 9 < b \cdot 9$

  Следовательно, $9a < 9b$.

Ответ: $\frac{a}{2} < \frac{b}{2}$; $-\frac{a}{3} > -\frac{b}{3}$; $9a < 9b$.

49 Известно, что $\frac{3}{7}m > \frac{3}{7}n$. Верно ли неравенство:

а) $3m > 3n$;

б) $m < n$;

в) $-m > -n$;

г) $-6m < -6n$;

д) $\frac{7}{3}m > \frac{7}{3}n$?

Для того чтобы проверить истинность предложенных неравенств, сначала упростим исходное неравенство $\frac{3}{7}m > \frac{3}{7}n$.

Умножим обе части этого неравенства на положительное число $\frac{7}{3}$. Поскольку мы умножаем на положительное число, знак неравенства сохраняется:

$\frac{7}{3} \cdot (\frac{3}{7}m) > \frac{7}{3} \cdot (\frac{3}{7}n)$

$1 \cdot m > 1 \cdot n$

$m > n$

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $m > n$. Далее будем использовать это упрощенное неравенство для анализа каждого из пунктов.

а) Верно ли неравенство $3m > 3n$?

Возьмем полученное нами неравенство $m > n$. Умножим обе его части на положительное число 3. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется:

$m \cdot 3 > n \cdot 3$

$3m > 3n$

Полученное неравенство полностью совпадает с данным в пункте а). Следовательно, это неравенство верно.

Ответ: верно.

б) Верно ли неравенство $m < n$?

Из исходного условия мы вывели, что $m > n$. Неравенство $m < n$ противоречит этому выводу. Следовательно, это неравенство неверно.

Ответ: неверно.

в) Верно ли неравенство $-m > -n$?

Возьмем неравенство $m > n$. Умножим обе его части на отрицательное число -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с ">" на "<"):

$m \cdot (-1) < n \cdot (-1)$

$-m < -n$

Полученное неравенство $-m < -n$ противоречит данному в пункте в) неравенству $-m > -n$. Следовательно, это неравенство неверно.

Ответ: неверно.

г) Верно ли неравенство $-6m < -6n$?

Возьмем неравенство $m > n$. Умножим обе его части на отрицательное число -6. Знак неравенства при этом должен измениться на противоположный (с ">" на "<"):

$m \cdot (-6) < n \cdot (-6)$

$-6m < -6n$

Полученное неравенство совпадает с данным в пункте г). Следовательно, это неравенство верно.

Ответ: верно.

д) Верно ли неравенство $\frac{7}{3}m > \frac{7}{3}n$?

Возьмем неравенство $m > n$. Умножим обе его части на положительное число $\frac{7}{3}$. Знак неравенства при этом не изменится:

$m \cdot \frac{7}{3} > n \cdot \frac{7}{3}$

$\frac{7}{3}m > \frac{7}{3}n$

Полученное неравенство совпадает с данным в пункте д). Следовательно, это неравенство верно.

Ответ: верно.

50 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Запишите с помощью букв следующие свойства неравенств для знаков $>$, $\le$, $\ge$:

а) о почленном сложении неравенств;

б) о почленном умножении неравенств.

Свойство почленного сложения гласит, что если сложить два верных неравенства одного и того же знака, то получится верное неравенство того же знака. Это свойство справедливо для любых чисел $a, b, c, d$.

Для знака $>$: если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

Для знака $<$ : если $a < b$ и $c < d$, то $a + c < b + d$.

Для знака $\ge$: если $a \ge b$ и $c \ge d$, то $a + c \ge b + d$.

Для знака $\le$: если $a \le b$ и $c \le d$, то $a + c \le b + d$.

Ответ: Для любых чисел $a, b, c, d$: если $a > b$ и $c > d$, то $a+c > b+d$; если $a < b$ и $c < d$, то $a+c < b+d$; если $a \ge b$ и $c \ge d$, то $a+c \ge b+d$; если $a \le b$ и $c \le d$, то $a+c \le b+d$.

Свойство почленного умножения гласит, что если перемножить два верных неравенства одного и того же знака, у которых все части являются положительными числами, то получится верное неравенство того же знака. Для нестрогих неравенств ($\ge$, $\le$) части могут быть неотрицательными.

Для знака $>$: если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.

Для знака $<$ : если $0 < a < b$ и $0 < c < d$, то $ac < bd$.

Для знака $\ge$: если $a \ge b \ge 0$ и $c \ge d \ge 0$, то $ac \ge bd$.

Для знака $\le$: если $0 \le a \le b$ и $0 \le c \le d$, то $ac \le bd$.

Ответ: Если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$. Если $0 < a < b$ и $0 < c < d$, то $ac < bd$. Если $a \ge b \ge 0$ и $c \ge d \ge 0$, то $ac \ge bd$. Если $0 \le a \le b$ и $0 \le c \le d$, то $ac \le bd$.

51 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО. Верно ли, что:

a) если $x > 2$ и $y > 10$, то $x + y > 12$; $x + y > 10$; $x + y > 20$;

б) если $x < \frac{1}{2}$ и $y < \frac{1}{2}$, то $x + y < 1$; $x + y < 0$; $x + y < 3?

а)

Даны два строгих неравенства: $x > 2$ и $y > 10$.

Согласно свойству числовых неравенств, если сложить два неравенства одного знака, то знак неравенства сохранится. Сложим данные неравенства почленно:

$x + y > 2 + 10$

$x + y > 12$

Это основной результат, который мы будем использовать для проверки утверждений.

Проверим утверждение $x + y > 12$.
Это утверждение является прямым следствием сложения исходных неравенств. Следовательно, оно верно.

Проверим утверждение $x + y > 10$.
Мы доказали, что $x + y > 12$. Любое число, которое больше 12, также больше и 10. Следовательно, это утверждение тоже верно.

Проверим утверждение $x + y > 20$.
Это утверждение не всегда является верным. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример. Возьмем значения переменных, удовлетворяющие исходным условиям: пусть $x = 3$ (так как $3 > 2$) и $y = 11$ (так как $11 > 10$). Тогда их сумма будет $x + y = 3 + 11 = 14$. Неравенство $14 > 20$ является ложным. Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ: $x + y > 12$ — верно; $x + y > 10$ — верно; $x + y > 20$ — неверно.

б)

Даны два строгих неравенства: $x < \frac{1}{2}$ и $y < \frac{1}{2}$.

Сложим эти неравенства почленно, сохраняя знак неравенства:

$x + y < \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$x + y < 1$

Это основной результат, который мы будем использовать для проверки утверждений.

Проверим утверждение $x + y < 1$.
Это утверждение является прямым следствием сложения исходных неравенств. Следовательно, оно верно.

Проверим утверждение $x + y < 0$.
Это утверждение не всегда является верным. Переменные $x$ и $y$ могут быть положительными числами. Например, возьмем $x = 0.3$ (так как $0.3 < 0.5$) и $y = 0.4$ (так как $0.4 < 0.5$). Тогда их сумма $x + y = 0.3 + 0.4 = 0.7$. Неравенство $0.7 < 0$ является ложным. Следовательно, данное утверждение неверно.

Проверим утверждение $x + y < 3$.
Мы доказали, что $x + y < 1$. Любое число, которое меньше 1, также меньше и 3. Следовательно, это утверждение верно.

Ответ: $x + y < 1$ — верно; $x + y < 0$ — неверно; $x + y < 3$ — верно.